Зарегистрироваться

Дифференциальные уравнения

Категории Дифференциальные уравнения | Под редакцией сообщества: Математика

Дифференциальное уравнение — равенство, связывающее какую-либо производную неизвестной функции в каждой точке со значениями самой этой функции и других ее производных в той же точке. Наибольший порядок входящих в уравнение производных искомой функции называется порядком этого уравнения.

Термин «дифференциальные уравнения» был предложен Г. Лейбницем в 1676 г., а первые исследования дифференциальных уравнений были проведены в конце XVII в. в связи с изучением проблем механики и некоторых геометрических задач.

Значение дифференциальных уравнений

Большое значение имеют дифференциальные уравнения как для различных разделов самой математики, так и для ее приложений: в механике, физике, технике, химии, биологии, экономике и т. д. Это объясняется тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих задач окружающего мира, в которых обнаруживается связь между какими-либо величинами и количественными их изменениями, возникающими при изменении времени, координат или других параметров.

Приведем примеры.

1. Если на точечное тело единичной массы действует сила ƒ, зависящая только от координаты этого тела, то для него получаем уравнение Ньютона

.

Решив это уравнение второго порядка, можно найти координату тела x=x(t) как функцию времени t.

2. Для описания взаимодействия двух биологических популяций, одна из которых (численностью x(t) в момент t) является хищником по отношению к другой, жертве (численностью y(t)), используется простейшая модель Лотка — Вольтерра

.

Согласно приведенной системе дифференциальных уравнений, в природе этого взаимодействия имеется естественное положение равновесия, около которого и совершают периодические колебания численности хищников и жертв. Данная модель позволяет делать правильные прогнозы об этих численностях, следя тем самым за экологией.

3. Уравнение, описывающее распространение волн на поверхности воды, имеет вид

,

где u(x, y, t) — вертикальное отклонение (от фиксированной плоскости) точки колеблющейся поверхности воды с координатами x и y в момент t. Это уравнение называется волновым.

Основные типы дифференциальных уравнений

Все дифференциальные уравнения делятся на два основных типа: обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция зависит от одной переменной (скалярной), и уравнения в частных производных, или уравнения математической физики — с неизвестной функцией, зависящей от нескольких переменных (или, что то же, от одной, но векторной переменной). Сама искомая функция также может принимать векторные значения — тогда для ее координат уравнение переписывается в виде системы.

Специальный раздел дифференциальных уравнений посвящен уравнениям с запаздывающим (или, вообще, с отклоняющимся) аргументом, к которым сводятся некоторые прикладные задачи, учитывающие эффект запаздывания срабатывания исполнительного устройства. В таких уравнениях производная решения в точке t выражается через значение решения не в той же точке, а в точке  t-τ: 

.

Решением дифференциального уравнения называется функция, определенная в некоторой области (в случае функции одной переменной — на интервале) и обращающая это уравнение в тождество, для чего она должна быть дифференцируемой достаточное число раз. Нередко решение такого уравнения называют интегралом, а нахождение всех его решений — интегрированием дифференциального уравнения.

Когда уравнение, используемое для описания реального процесса, уже выведено, возникает вопрос о постановке задачи для этого уравнения, имеющей однозначное решение.

Обыкновенное дифференциальное уравнение имеет, как правило, целое семейство решений. Из них выбирают то решение, которое удовлетворяет определенным дополнительным условиям. Так, в случае тела, движущегося под действием данной силы, основываясь на механических соображениях, можно фиксировать решение, задав его начальное положение x(0)=x₀ и начальную скорость .

Аналогичные задачи ставятся и для уравнений в частных производных. Так, волновое уравнение в ограниченном водоеме круглой формы приводит к следующим условиям

где последняя производная берется по направлению нормали ν к границе единичного круга в ее точке (x, y). Эта задача называется смешанной, так как она имеет как начальные (при t=0 ) условия, так и краевые (на границе области x₂+y₂=1).

Теории дифференциального уравнения

Важную роль в теории дифференциальных уравнений играют теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Они позволяют заранее понять, правильно ли поставлена задача для описания реального явления: имеет ли она решение и не слишком ли много у нее решений. Иными словами, задача может оказаться как переопределенной, так и недоопределеной — и то и другое является недостатком при ее исследовании.

Не менее важным является также и, казалось бы, сугубо теоретический вопрос о корректности самой задачи, а именно: не могут ли малые изменения параметров задачи привести к скачкообразному изменению ее решения. Ответ на этот вопрос в случае задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, к счастью, отрицателен на любом конечном отрезке времени.

Если же следить за изменениями решений на всей полуоси, то ситуация оказывается гораздо более сложной и запутанной. Вопрос о корректности задачи Коши в этом случае является ключевым для теории устойчивости движения, которая составляет важную часть качественной теории дифференциальных уравнений.

Целый ряд дифференциальных уравнений можно проинтегрировать явно. Однако, во-первых, этот ряд слишком далек от полного. Во-вторых, полученные формулы для решений порой бывают слишком трудными для исследования. В этом случае на помощь также приходит качественная теория, позволяющая получать конкретные выводы о свойствах решений, не решая самого уравнения.

Другой подход к дифференциальным уравнениям связан с численными методами, благодаря которым, используя компьютеры, удается найти решение с любой наперед заданной точностью.

Для нахождения решений дифференциальных уравнений помогают связи с другими областями математики, такими как теория функций, спектральная теория (операторов), оптимальное управление, дифференциальная геометрия и др.

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.