Уравнения в частных производных (уравнения математической физики)
Уравнение в частных производных — дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция зависит от нескольких (двух или более) переменных.
Общий вид уравнения в частных производных n-го порядка для функции u=u (x₁, … ,xm) от m ≥2 переменных таков
.
Рассмотрим линейное уравнение второго порядка для функции от двух независимых переменных
.
Главная часть этого уравнения, напоминающая уравнение конического сечения
ax²+ 2bxy+ cy² =0,
определяет тип уравнения в зависимости от знака дискриминанта D=b²- ac в каждой точке (x, y):
1) D < 0 — эллиптическое уравнение;
2) D > 0 — гиперболическое уравнение;
3) D = 0 — параболическое уравнение.
В физике простейшими примерами линейных уравнений второго порядка (соответственно эллиптического, гиперболического и параболического типов) являются:
1) уравнение Лапласа
,
описывающее, например, установившуюся температуру u=u(x, y) в плоской области с координатами x и y;
2) волновое уравнение
,
где u(x, t) — поперечное отклонение (от фиксированной прямой) точки колеблющейся струны с координатой x в момент t;
3) уравнение теплопроводности
,
где u(x, t) — температура в момент t точки с координатой x однородного стержня, по которому распространяется тепловой поток.
Если коэффициенты главной части уравнения постоянны, то оно имеет один и тот же тип во всех точках. Если же они не постоянны, то может случиться, что в точках одной зоны (области, если коэффициенты непрерывны) уравнение к гиперболическому типу, в точках другой — к эллиптическому, а на их границе — к параболическому. Таким свойством обладает, например, уравнение Трикоми
.
Выходные данные:
- Просмотров: 1443
- Комментариев: 0
- Опубликовано: 10.03.2011
- Версий: 9 , текущая: 9
- Статус: экспертная
- Рейтинг: 100.0
Автор:
Сергеев Игорь Николаевич
- профессор; доктор физико-математических наук
Ссылки отсюда
Категории: