Зарегистрироваться

Уравнения в частных производных (уравнения математической физики)

Категории Дифференциальные уравнения | Под редакцией сообщества: Математика

Уравнение в частных производных дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция зависит от нескольких (двух или более) переменных.

Общий вид уравнения в частных производных n-го порядка для функции u=u (x₁, … ,xm) от  m ≥2 переменных таков

.

Рассмотрим линейное уравнение второго порядка для функции от двух независимых переменных

.

Главная часть этого уравнения, напоминающая уравнение конического сечения

ax²+ 2bxy+ cy² =0,

определяет тип уравнения в зависимости от знака дискриминанта D=b²- ac в каждой точке (x, y):

1) D < 0 — эллиптическое уравнение;

2) D > 0 — гиперболическое уравнение;

3) D = 0 — параболическое уравнение.

В физике простейшими примерами линейных уравнений второго порядка (соответственно эллиптического, гиперболического и параболического типов) являются:

1)  уравнение Лапласа

,

описывающее, например, установившуюся температуру u=u(x, y) в плоской области с координатами x и y;

2)  волновое уравнение

,

где u(x, t) — поперечное отклонение (от фиксированной прямой) точки колеблющейся струны с координатой x в момент t;

3)  уравнение теплопроводности

,

где u(x, t) — температура в момент t точки с координатой x однородного стержня, по которому распространяется тепловой поток.

Если коэффициенты главной части уравнения постоянны, то оно имеет один и тот же тип во всех точках. Если же они не постоянны, то может случиться, что в точках одной зоны (области, если коэффициенты непрерывны) уравнение к гиперболическому типу, в точках другой — к эллиптическому, а на их границе — к параболическому. Таким свойством обладает, например, уравнение Трикоми

.

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.