Качественная теория дифференциальных уравнений

Качественная теория дифференциальных уравнений — раздел дифференциальных уравнений, изучающий свойства решений без нахождения самих решений.

1. Важный раздел современной качественной теории представляет собой теория устойчивости движения, созданная в конце XIX в. А.М. Ляпуновым. Основным в этой теории является вопрос о возможности, управляя малостью отклонения возмущенного решения x(t) от положения равновесия x=0 дифференциальной системы

в начальный момент t=0, обеспечить:

а) малость отклонения решения x(t) от положения равновесия на всей положительной полуоси t ≥ 0 (в случае положительного ответа на этот вопрос положение равновесия называется устойчивым по Ляпунову);

б) сверх того, стремление решения x(t) к положению равновесия при t → ∞ (в этом случае положение равновесия называется асимптотически устойчивым).

Указанные понятия имеют практический смысл: если какой-либо процесс описывается дифференциальной системой, то для его реализации совершенно недопустимо, чтобы малые погрешности начальных данных вызывали значительные изменения решений на всей их области определения, и наоборот, весьма желательно, чтобы эти погрешности со временем пропадали.

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению дает достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы с постоянной (а также с периодической и в общем случае — правильной по Ляпунову) матрицей линейного приближения правой части системы вблизи нулевого положения равновесия.

2. Один из любопытных разделов качественной теории дифференциальных уравнений состоит в изучении колеблемости решений, т.е. распределения их нулей на временной оси. Начало этой проблеме положил следующий факт: всякое решение y(x) линейного уравнения второго порядка

на положительной полуоси имеет бесконечно много нулей, причем нули двух линейно независимых решений чередуются.

3. В конце XIX в. А. Пуанкаре заложил основы геометрической теории динамических систем, рассматривая фазовые траектории, порождаемые решениями автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

,

Важная задача качественной теории — изучение асимптотического поведения всех решений при x → ±  ∞, а также исследование структуры их предельных множеств и способов приближения фазовых траекторий к этим множествам. Особый интерес вызывает поведение решений вблизи неподвижной точки и предельного цикла (замкнутой траектории, являющейся предельной хотя бы еще для одной траектории).

В случае, когда фазовое пространство представляет собой плоскость, А. Пуанкаре и И. Бендиксон дали исчерпывающее описание возможного расположения всех фазовых траекторий.