Интегрирование дифференциального уравнения

Интегрирование дифференциального уравнения — нахождение всех его решений.

1. Прежде всего, особо выделяются случаи чисто алгебраического интегрирования, в результате которого по коэффициентам исходного дифференциального уравнения решение представляется явно или неявно в виде алгебраических уравнений.

Например, алгебраически интегрируется любое линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами

и любая линейная однородная система с постоянными коэффициентами

,  .

Их решения представляются в виде произвольной линейной комбинации n функций, полностью определяемых корнями характеристического многочлена

и, соответственно, жордановой формой (с жордановым базисом) матрицы А.

При интегрировании уравнения в частных производных роль произвольных постоянных играют уже произвольные функции. Например, все решения уравнения колебаний струны

задаются формулой Даламбера

,

где f и g — произвольные функции (достаточной гладкости).

2. Далее, представляет несомненный интерес возможность проинтегрировать уравнение в квадратурах, т.е. с участием интегралов от известных функций, причем независимо от того, берутся они явно или нет. В квадратурах интегрируется любое уравнение с разделяющимися переменными

,

которое при условии приводится к виду

, где С- const.

3. Наконец, допустимо также и получение решений в виде бесконечных рядов функций от независимых переменных или параметров. Для демонстрации этой идеи представим решение u(x,t) задачи о колебаниях струны длин`` `<IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" height=8 src="/enc/http://fedora-as2.cinet.local:7777/enc/http://fedora-as2.cinet.local:7777/enchttp://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%5Cpi" width=16 _mce_src="/http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%5Cpi" _mce_style="vertical-align: middle;">` с закрепленными концами

u(0,t)= u(π,t)

в виде функции с разделенными переменными

u(x,t)=X(x)T(t).

Подставив ее в волновое уравнение и в краевые условия, получим

, X(0)=X(π)=0 ,

откуда находим все возможные ненулевые функции

и соответствующие им функции

.

После этого появляется реальная возможность искать общее решение этой задачи в виде ряда Фурье

.

4. Иногда бывает полезно проинтегрировать уравнение хотя бы частично, предъявив способ понижения его порядка. Например, можно попытаться найти его первый интеграл — непостоянную функцию, принимающую постоянные значения вдоль каждого решения уравнения. Так, частично интегрируется уравнение Ньютона

,

всегда имеющее первый интеграл

,

называемый интегралом энергии. С его помощью порядок уравнения можно понизить, сведя его к семейству уравнений первого порядка

,

интегрируемых в квадратурах.