Трансцендентное число

Трансцендентное число— комплексное число, не являющееся алгебраическим, то есть не являющееся корнем никакого отличного от нуля многочлена с рациональными коэффициентами.

Существование трансцендентных чисел впервые установил Ж. Лиувилль в 1844 г.; он же построил первые примеры таких чисел. Лиувилль заметил, что алебраические числа не могут «слишком хорошо» приближаться рациональными числами. Именно, теорема Лиувилля гласит, что если алгебраическое число является корнем многочлена степени с рациональными коэффициентами, то для любого рационального числа справедливо неравенство

где постоянная зависит только от . Из этого утверждения следует достаточный признак трансцендентности: если число таково, что для любой постоянной существует бесконечное множество рациональных чисел , удовлетворяющих неравенствам

то трансцендентно. Впоследствии такие числа получили название чисел Лиувилля. Примером такого числа является

где .

Другое доказательство существования трансцендентных чисел было получено Г.  Кантором в 1874 г. на основе созданной им теории множеств. Кантор доказал счётность множества алгебраических чисел и несчётность множества действительных чисел, откуда следует, что множество трансцендентных чисел несчётно. Однако, в отличие от доказательства Лиувилля, эти рассуждения не позволяют привести пример хотя бы одного такого числа.

Работа Лиувилля дала начало целому разделу теории трансцендентных чисел — теории приближения алгебраических чисел рациональными или, более общо, алгебраическими числами. Теорема Лиувилля усиливалась и обобщалась в работах многих математиков. Это позволило построить новые примеры трансцендентных чисел. Так, К. Малер показал, что если — непостоянный многочлен, принимающий целые неотрицательные значения при всех натуральных , то для любого натурального число , где — запись числа в системе счисления с основанием , является трансцендентным, но не является числом Лиувилля. Например, при и получаем следующий изящный результат: число

трансцендентно, но не является числом Лиувилля.

В 1873 г. Ш. Эрмит, используя другие идеи, доказал трансцендентность неперова числа (основания натурального логарифма): 

Развив идеи Эрмита, Ф. Линдеман в 1882 г. доказал трансцендентность числа , тем самым поставив точку в древней проблеме о квадратуре круга: с помощью циркуля и линейки невозможно построить квадрат, равновеликий (то есть имеющий ту же площадь) данному кругу. Более общо, Линдеман показал, что при любом алгебраическом число трансцендентно. Эквивалентная формулировка: для любого алгебраического числа , отличного от и , его натуральный логарифм является трансцендентым числом.

В 1929 г. К.Л.  Зигель предложил новый аналитический метод, позволяющий доказывать трансцендентность значений широкого класса аналитических функций (так называемых ‐функций), удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям с полиномиальными коэффициентами. Из результатов Зигеля, в частности, следует теорема Линдемана, а также следующий красивый результат. Определим конечную цепную дробь с помощью

Тогда число

трансцендентно. Метод Зигеля был существенно усилен и доведен до естественных границ применимости в работах А. Б.  Шидловского.

В 1900 г. на конгрессе математиков в Париже Д.  Гильберт среди 23 нерешённых проблем математики указал на следующую, в частной форме сформулированную ещё Л. Эйлером:

Пусть и — алгебраические числа, причём иррационально. Будет ли число трансцендентным? В частности, трансцендентны ли числа и ?

Эта проблема может быть переформулирована в следующей форме, близкой к оригинальной формулировке Эйлера:

Пусть и — алгебраические числа, отличные от и , причём отношение их натуральных логарифмов иррационально. Будет ли число трансцендентным?

Первое частичное решение проблемы было получено в 1929 г. А. О. Гельфондом, который, в частности, доказал трансцендентность числа . В 1930 г. Р. О.  Кузьмин усовершенствовал метод Гельфонда, в частности, ему удалось доказать трансцендентность числа . Полное решение проблемы Эйлера–Гильберта (в утвердительном смысле) было получено в 1934 г. независимо А. О. Гельфондом и Т. Шнайдером.

А. Бейкер в 1966 обобщил теоремы Линдемана и Гельфонда–Шнайдера, доказав, в частности, трансцендентность произведения произвольного конечного количества чисел вида и с алгебраическими при естественных ограничениях.

В 1996г. Ю.В. Нестеренко доказал алгебраическую независимость значений рядов Эйзенштейна и, в частности, чисел и . Это означает трансцендентность любого числа вида , где отличная от нуля рациональная функция с алгебраическими коэффициентами. Например, трансцендентной будет сумма ряда

 .

В 1929–1930 гг. К. Малер в серии работ предложил новый метод доказательства трансцендентности значений аналитических функций, удовлетворяющих функциональным уравнениям определённого вида (впоследствии такие функции получили название функций Малера).

Методы теории трансцендентных чисел нашли применение и в других разделах математики, в частности в теории диофантовых уравнений.