Небесная механика

Небесная механика (также - математическая астрономия, теоретическая астрономия) - раздел астрономии, занимающийся изучением закономерностей в движениях небесных объектов под действием различных природных причин, вызывающих эти движения. Предметом небесной механики является механическая форма движения космической материи, то есть изменение с течением времени взаимного расположения и пространственной ориентации различных космических тел и их систем.

↑Терминология

Наряду с введенным Пьером Лапласом термином небесная механика (1799 г.) до сих пор находит применение введенный петербургским академиком Ф.Т.Шубертом (1798 г.) и употребляемый почти в том же самом смысле термин теоретическая астрономия, основной и древнейшей частью которой является теория движения больших планет. Широко распространенный в англоязычный литературе термин динамическая астрономия полностью эквивалентен принадлежащему Леонарду Эйлеру термину механическая астрономия с аналогичным содержанием. Так что можно считать все перечисленные термины синонимами. Тем не менее, некоторые отличия в их трактовке существуют, и разные авторы объясняют эти отличия по-разному. Чаще всего считается, что теоретическая астрономия имеет своей целью изучение движения реально существующих небесных тел и открытие управляющих этими движениями законов природы, в то время как небесная механика исследует решения модельных задач о движении абстрактных объектов под воздействием идеализированных природных сил. Иначе говоря, с этой точки зрения теоретическая астрономия есть часть естествознания, тогда как небесная механика – это математическая дисциплина, по применяемым методам вполне аналогичная математической физике. Еще трудами Л. Эйлера, А. Клеро, Ж.-Л. Даламбера, Ж.-Л. Лагранжа, П. Лапласа и других классиков математического естествознания было доказано, что основные проблемы небесной механики сводятся к интегрированию систем дифференциальных уравнений. По сути дела, благодаря широчайшему использованию всех средств «чистой», прикладной и вычислительной математики небесная механика вполне могла бы именоваться, например, математической астрономией. Именно так и называлась когда-то (1933 г.) одна из астрономических специальностей механико-математического факультета Московского Государственного университета имени М.В.Ломоносова. В настоящее время небесная механика – одна из специализаций кафедры небесной механики, астрометрии и гравиметрии физического факультете МГУ имени М. В. Ломоносова.

↑Роль небесной механики в современном естествознании

Существующие теории, описывающие  поступательно-вращательные движения небесных тел, составляют ту базу, которая во все времена доставляла человечеству возможность познавать устройство и эволюцию Вселенной. В настоящее время считается общепризнанным мнение, что современные высокоточные теории движения тел Солнечной системы позволили создать материализованную звездными каталогами и астрономическими ежегодниками пространственно-временную систему отсчета, которая является фундаментом для всех исследований, связанных с измерениями пространства и времени в процессе астрономических наблюдений и космических экспериментов.

Исторически сложилось так, что классическая (нерелятивистская) небесная механика унаследовала от античной и средневековой астрономии проблему описания видимых движений небесных светил и прогнозирования их будущих движений на небесной сфере. С древнейших времен именно с наблюдениями астрономических явлений было связано осознание человечеством своего места в мире и постепенное овладение законами природы. Важным этапом на этом пути было создание александрийским астрономом Клавдием Птолемеем (2-й век новой эры) геоцентрической системы мира на основе кинематической схемы видимых движений Солнца, Луны и пяти “блуждающих звезд” (планет Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна). Важный вклад в изучение действительных движений тел Солнечной системы, безусловно, принадлежит немецкому астроному Иоганну Кеплеру, открывшему (в начале 17-го века, используя самые точные астрономические наблюдения датского астронома Тихо де Браге) три эмпирических закона планетных движений, приведших к окончательному преодолению геоцентрического мировоззрения и экспериментальному подтверждению гелиоцентрической системы мира великого польского астронома Николая Коперника. И все же решающим событием в истории естествознания было опубликование в 1687 году книги Исаака Ньютона «Математические Начала натуральной философии» с изложением  основ математического “анализа бесконечно малых” (то есть дифференциального и интегрального исчисления), а также трех законов механики и закона  всемирного тяготения. Этим фундаментальным сочинением И. Ньютон заложил основы современной небесной механики, так как ему удалось доказать, что именно притяжение планет Солнцем является причиной, ответственной за сформулированные И. Кеплером законы движения планет. Ньютон показал также, что силами взаимного притяжения объясняются и вытекающие из астрономических наблюдений отклонения от законов Кеплера. Более того, доказанная Ньютоном тождественность земной силы тяжести и движущей небесные светила силы гравитационного притяжения способствовала утверждению принципа материального единства мира, что можно с полным правом квалифицировать как подлинный триумф математического естествознания.

Так были утверждены основополагающие принципы механики и теории тяготения, составившие фундамент всей классической физики как точной науки. Великий физик XX-го века Альберт Эйнштейн подтвердил это словами: «физика – младшая сестра небесной механики».

С момента своего возникновения и до сих пор небесная механика служит для естествознания научным полигоном, на котором испытываются новейшие средства математического анализа. Более того, подавляющее большинство всех наиболее эффективных средств и методов теоретического исследования, можно сказать, «генетически» связаны с небесно-механическими проблемами астрономии. В качестве хрестоматийного примера достаточно сослаться на вышеупомянутое «исчисление бесконечно малых», специально разработанное И. Ньютоном (1687 г.) в качестве математического аппарата механики для решения, прежде всего, астрономических задач. Впоследствии с целью создания теорий движения тел Солнечной системы  разрабатывались как количественные (аналитические и численные), так и качественные методы небесной механики (например, методы теории устойчивости движения). Да и методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, входящие сейчас в число мощнейших средств компьютерного моделирования динамических систем, впервые были разработаны Леонардом Эйлером (первым был метод ломаных Эйлера) в связи с практическими потребностями наблюдательной астрономии. Астрономами по должности были и такие классики естествознания как “король математиков”  К.Ф. Гаусс (директор астрономической обсерватории Геттингенского университета) и «королевский астроном Ирландии» У. Р. Гамильтон (директор астрономической обсерватории Дублинского университета). Вклад обоих этих великих ученых XIX-го века в развитие точных наук трудно переоценить: Гаусс заслуженно считается основателем прикладной математики, развитой им на задачах определения орбит небесных тел из астрономических наблюдений, а теоретико-механический «гамильтонов формализм» нашел широчайшее применение не только в небесной механике, но и в подавляющем большинстве других разделов теоретической физики.

Небесная механика не только может, но по праву обязана считаться первоосновой всего точного естествознания и краеугольным камнем современной научной картины мира.

↑Основы классической небесной механики

Физическими основами классической небесной механики являются механика Ньютона и теория пространства, времени и тяготения, изложенные в его знаменитом труде «Математические начала натуральной философии» (1687 г.).

В небесной механике для описания движений небесных тел используются, в зависимости от конкретных условий, различные физические модели – идеализированные космические объекты. Например, материальная точка - это обладающее массой и скоростью тело, размеры, форма и внутреннее строение которого в условиях рассматриваемой задачи существенного значения не имеют. В частности, так как взаимные расстояния между Солнцем и большими планетами значительно превышают их линейные размеры, то приближенно их можно рассматривать как материальные точки. Именно благодаря учету этого обстоятельства И. Ньютон смог построить первую динамическую теорию планетных движений.

Положение материальной точки, изображающей конкретный космический объект, всегда определяется по отношению к некоторому, произвольно выбранному небесному телу, называемому телом отсчета. Совокупность тела отсчета, системы координат и часов (в качестве устройства для отсчета времени) образует систему отсчета, к которой принято относить положение и скорость исследуемого объекта в рассматриваемый момент времени.

Траектория движения небесного тела или его орбита – это геометрическое место его положений на рассматриваемом временном интервале, то есть кривая линия, описываемая материальной точкой в трехмерном пространстве. Закон движения, как известная функциональная зависимость состояния движения исследуемого объекта от времени, задается кинематическими уравнениями движения, представляющими собой параметрические уравнения траектории.

Три закона механики Ньютона, равно как и открытый им закон всемирного тяготения - это аксиоматически заданные гипотезы, рациональное объяснение которых лежит вне пределов классической механики и относится к прерогативам метафизики.

Первый закон механики в формулировке самого И.Ньютона гласит: «всякое тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного равномерного движения, пока и поскольку оно не будет вынуждено изменить это состояние под воздействием других тел». Другая формулировка первого закона Ньютона (в форме «закона инерции») утверждает: «существуют такие системы отсчета, в которых свободная материальная точка сохраняет свое состояние покоя или прямолинейного равномерного движения». Такие системы отсчета называются инерциальными. Другими словами, инерциальной является система отсчета, в которой материальная точка (вследствие нулевой равнодействующей внешних сил) не подвержена воздействию со стороны других тел и потому движется по инерции, то есть прямолинейно и равномерно. И любая система отсчета, движущаяся прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы отсчета, также является инерциальной. Система же отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета с ускорением, считается неинерциальной системой отсчета.

Эквивалентность механических свойств любых инерциальных систем отсчета составляет содержание механического принципа относительности (принципа относительности Галилея). Это значит, что во всех инерциальных системах отсчета законы механики действуют одинаково. И, в частности, никакими механическими опытами внутри инерциальной системы отсчета невозможно оценить скорость такой системы и тем самым обнаружить ее движение, то есть равномерное прямолинейное движение и покой механически эквивалентны.

Присущее всем материальным телам свойство оказывать сопротивление изменению величины или направления их скорости проявляется как инертность состояния движения. Мерой инертности тела служит его инертная масса, в отличие от гравитационной массы, являющейся мерой его гравитационных свойств и играющей роль гравитационного заряда.

Важной механической характеристикой материальной частицы является количество движения (импульс массы или просто импульс) – векторная величина, численно равная произведению массы на скорость и имеющая направление вектора скорости.

В качестве меры механического воздействия на тело со стороны других материальных образований (тел и силовых полей), в результате которого изменяется его импульс, выступает сила - векторная величина, в каждый момент времени характеризуемая числовым значением, точкой приложения и направлением в пространстве.

Согласно второму закону Ньютона «сила, действующая на материальную точку в инерциальной системе отсчета, равна произведению ее массы на сообщаемое этой силой ускорение». Это основной закон динамики, так как, устанавливая пропорциональность между ускорением и действующей силой, он тем самым задает динамические уравнения движения частицы в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Именно второй закон механики предполагает эквивалентность инертной и гравитационной масс. Оригинальная формулировке второго закона классической механики, данная самим Ньютоном, такова: «в инерциальной системе отсчета скорость изменения количества движения (т.е. импульса) материальной точки равна действующей на нее силе».

Если на материальную точку одновременно действуют несколько сил, то каждая из них сообщает ей ускорение согласно второму закону Ньютона независимо от других действующих сил, причем результирующее ускорение равно векторной сумме всех ускорений, сообщенных каждой силой в отдельности. Такова формулировка принципа независимости действия сил (принципа суперпозиции) классической небесной механики.

Третий закон Ньютона (закон равенства действия и противодействия) утверждает, что «в инерциальных системах отсчета всякое действие имеет характер взаимодействия. Силы взаимодействия однородны по своей природе, всегда равны по абсолютной величине и противоположно направлены вдоль прямой, соединяющей точки их приложения». Третий закон Ньютона – основа и причина существования систем небесных тел, то есть совокупностей космических объектов, рассматриваемых как единое целое.

В рамках классической небесной механики в качестве действующих сил обычно выступают силы гравитационного притяжения (гравитационные силы), силы упругих деформаций (силы упругости) и силы сопротивления среды (силы трения). Силы упругости и силы трения являются частными случаями электромагнитных сил, наряду с гравитационными силами относящихся к классу фундаментальных сил и олицетворяющих (вместе с сильными и слабыми ядерными силами) четыре известных сейчас фундаментальных физических взаимодействия. На космическом пространственно-временном уровне организации материи преобладающим является гравитационное взаимодействие. Именно по этой причине в астрономии главная роль отводится, в первую очередь, силам гравитационной природы.

Согласно закону всемирного тяготения И. Ньютона, «между двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, направленная вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие точки, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними». Закон всемирного тяготения (так называемый закон обратных квадратов) – это главное звено всей ньютоновой теории пространства, времени и тяготения. По мнению великого французского ученого Жюля Анри Пуанкаре «проверка справедливости закона всемирного тяготения  является главной целью небесной механики».

↑Современный этап развития небесной механики

На протяжении всей истории своего становления небесная механика всегда была источником новых идей, плодотворных методов и даже новых направлений в математике, традиционно являясь благодатным полем приложения усилий для подавляющего большинства выдающихся ученых. Среди знаменитых имен классиков точного естествознания (не только астрономов, но и физиков, и математиков, и механиков) практически отсутствуют такие, кто не воздал бы должную дань уважения небесной механике. Так, например, один из создателей статистической физики знаменитый американский физик Джозайя Уиллард Гиббс известен и как автор одного из методов определения орбит небесных тел из астрономических наблюдений.

Не только в методы решения задач, но и в методику преподавания небесной механики как дисциплины физико-математического цикла существенный вклад внесли многие крупнейшие деятели отечественной науки (Л. Эйлер, М.В. Остроградский, А.М. Ляпунов, А.Н. Крылов, И.В.Мещерский, В.В. Степанов, Н.Д. Моисеев, М.Ф.Субботин, Г.Н.Дубошин, А Н. Колмогоров, В.И. Арнольд и другие).

С началом космической эры и бурным развитием исследований космоса во второй половине XX-го века возникла новая научная дисциплина астродинамика, изучающая движения искусственных небесных тел (искусственные спутники Земли, Луны и других планет, орбитальные станции и межпланетные космические зонды) методами небесной механики. В отличие от классической небесной механики астродинамика учитывает силы искусственного происхождения, в том числе и различные силы негравитационной природы. Это, прежде всего, реактивные силы тяги ракетных двигателей, а также силы, возникающие вследствие нецентральности гравитационных полей тел Солнечной системы. Некоторые старые и забытые модельные задачи классической небесной механики получили вторую жизнь благодаря астродинамике, где за короткое время было получено много выдающихся и даже удивительных результатов.

Это связано, во-первых, c достигнутым фотографической астрометрией повышением точности оптических наблюдений небесных объектов. Во-вторых, с возможностью проведения небесно-механических экспериментов на искусственных спутниках Земли и межпланетных космических аппаратах, в результате которых стали широко использоваться наблюдения допплеровского смещения, а также данные радиолокационных и лазерных наблюдений. Возникшая в связи с этим проблема учета в движении тел Солнечной системы релятивистских эффектов привела к естественному внедрению в практику космических исследований результатов релятивистской небесной механики, опирающейся на теорию относительности Альберта Эйнштейна как релятивистскую теорию пространства-времени и тяготения.

В соответствии с основной идеей общей теории относительности тяготение есть свойство четырехмерного многообразия событий реального мира, которое объясняется изменением метрики пространства-времени, проявляющемся в виде его кривизны. Поэтому, с одной стороны, именно псевдориманова метрика определяет движение и распределение масс, а, c другой стороны, сама метрика определяется распределением и движением материи. Указанная взаимозависимость описывается уравнениями поля Эйнштейна - нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка относительно компонент фундаментального метрического тензора четырехмерного псевдориманова пространства. Таким образом, ситуация в общей теории относительности резко отличается от положения дел в классической нерелятивистской теории, где дифференциальные уравнения движения, задаваемые тремя законами механики Ньютона, постулируются отдельно и независимо от уравнений поля (в форме дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка – линейных уравнений Лапласа и Пуассона для гравитационного потенциала). Но в общей теории относительности уравнения движения материальных тел содержатся в уравнениях гравитационного поля, и проблема вывода уравнений движения из уравнений поля еще не имеет окончательного решения. Известны лишь два строгих частных решения уравнений поля Эйнштейна, представляющих практический интерес для астрономии. Это решение Шварцшильда для сферически симметричного статического гравитационного поля одного неподвижного притягивающего центра, а также решение Керра, описывающее стационарное поле равномерно вращающегося тела сферически симметричной структуры. Что же касается более сложных релятивистских небесно-механических моделей, то точные уравнения до сих пор не выведены даже для задачи двух тел. И пока не существует другого выхода, как прибегать к приближенным методам интегрирования с поиском решений в виде бесконечных рядов по степеням различных малых параметров.

Так как Солнечная система является областью медленных движений и слабых гравитационных полей, учет релятивистских эффектов в движениях составляющих ее тел сводится к введению в элементы их орбит малых поправок, имеющих порядок квадрата отношения орбитальной скорости тела к скорости света.

К числу наиболее впечатляющих достижений небесной механики, окончательно подтвердивших закон всемирного тяготения, обычно принято относить точное предвычисление французским математиком Алексисом Клеро момента прохождения через перигелий знаменитой кометы Галлея (1759 г.), а также открытие «на кончике пера» планеты Нептун (1846 г.) астрономами Д.Адамсом (Англия) и У. Леверрье (Франция) по возмущениям в движении планеты Уран. Наконец, обнаруженное в середине XIX-го столетия тем же У. Леверрье рассогласование (всего лишь на 43 секунды за столетие) с ньютоновой теорией векового движения  перигелия Меркурия нашло рациональное объяснение лишь в общей теории относительности А. Эйнштейна (1915 г.), что до сих пор справедливо расценивается как ее первое экспериментальное подтверждение.

К числу достижений XX-го века, безусловно, относится математически безупречное общее решение неограниченной задачи трех тел, полученное К. Зундманом (1912). Координаты и время в этом решении представлены аналитическими функциями независимой переменной, регуляризирующей парные соударения. Однако, из-за хотя и абсолютной, но чрезвычайно (если не сказать, чудовищно!) медленной сходимости степенных рядов Зундмана, они пока не нашли астрономических приложений.

В ГАИШ МГУ в 30-х годах XX-го века в развитие идей А.М. Ляпунова заложены основы теории устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях (Г.Н. Дубошин).

Во второй половине XX-го столетия важные результаты были получены Московской школой небесной механики: в ГАИШ МГУ были выведены дифференциальные уравнения поступательно-вращательного движения небесных тел (Г.Н. Дубошин), разработана небесно-механическая модель – обобщенная задача двух неподвижных центров (Е.П. Аксенов, Е.А. Гребенников, В.Г. Демин), называемая также «моделью Гредеакса», нашедшая целый ряд астрономических приложений, в том числе для построения высокоточных теорий движения искусственных спутников Земли и планет (Е.П, Аксенов, Н.В. Емельянов).

К выдающимся достижениям второй половины прошлого столетия относится также создание математиками теории условно-периодических решений систем дифференциальных уравнений небесной механики (А.Н. Колмогоров, В.И. Арнольд, Ю. Мозер), с помощью которой получено решение задачи о нелинейной устойчивости частных решений уравнений движения.

На основе работ И.В. Мещерского по механике тел переменной массы в ГАИШ МГУ заложены основы небесной механики тел переменной массы (Г.Н. Дубошин), с помощью которых в последнее время получили дальнейшее развитие небесно-механические модели движений звезд в тесных двойных системах (Л.Г. Лукьянов).

K крупнейшим достижениям не только небесной механики, но и современной астрометрии относятся созданные в Лаборатории реактивного движения (Jet Propulsion Laboratory) высокоточные американские эфемериды больших планет и Луны: “DE 102 / LE 102” (M. Standish) и последующие их модификации, вплоть до “DE 421/LE 421”. Сюда же относятся и соответствующие французские эфемериды “INPOP 10” (J.Lascar, A. Fienga et al.) и российские эфемериды “EPM 2008” (Е.В. Питьева).

В ГАИШ МГУ и Парижском Институте Небесной механики и Вычисления Эфемерид созданы “Сервер эфемерид естественных спутников планет” и “ База данных естественных спутников планет” (Н.В.Емельянов, J.-U.Arlot).

Как и прежде, современная небесная механика остается интенсивно развивающейся  областью астрономии, вносящей весомый вклад в формирование научной картины мира.

↑Литература

1.М.С.Субботин. Введение в теоретическую астрономию. Наука. Москва, 1968.

2.Г.Н. Дубошин. Небесная Механика. Основные задачи и методы. Изд. 3. Наука. Москва, 1975.

3.Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под ред. Г.Н. Дубошина. Изд. 2. Наука. Москва, 1976.

4.Л.Г.Лукьянов, Г.И. Ширмин. Лекции по небесной механике. Эверо. Алматы, 2009.