Топология

Топология изучает свойства фигур, которые не изменяются при гомеоморфизмах, т.е. взаимно однозначных отображениях, непрерывных в обе стороны.

Топологию можно считать разновидностью геометрии, в сферу исследования которой попадает широкий класс геометрических объектов, называемых топологическими пространствами. Простейшие идеи топологии возникают из наблюдения за окружающим миром. Существуют отличные от «метрических» свойства, характеризующие геометрические фигуры. Линия может быть замкнутой, «заузленной». Линии могут «зацепляться». Поверхности могут иметь дырки. Эти свойства характеризуются тем, что они не изменяются при деформациях, допускающих любые растяжения без разрывов. Такие свойства и называются топологическими инвариантами, а сама топология является разделом математики, обладающим точными понятиями, строгими законами, математическими формулами, изображающими топологические величины. К числу важнейших топологических инвариантов относятся связность, (би)компактность, размерность, фундаментальная группа, группы гомологий.

Первые важные результаты, имеющую топологическую природу были получены в XVIII и XIX веках. Задача о Кенигсбергских мостах, рассмотренная Л. Эйлером, привела к созданию теории графов. Эйлерова характеристика выпуклых многогранников, позволила А. Пуанкаре дать классификацию двумерных поверхностей. Топологическая теория двумерных многообразий возникла в трудах О. Коши, Н. Абеля, К. Якоби, Б. Римана. К. Гаусс поставил задачу построения точной теории зацепления замкнутых попарно не пересекающихся кривых в трехмерном пространстве. К. Жордан доказал, что всякая простая замкнутая линия на плоскости разбивает эту плоскость на две области. Ряд топологических наблюдений принадлежит физикам.

Основателем топологии в конце XIX века был А. Пуанкаре. Он выделил топологию в отдельную область математики, которую назвал «Анализ Ситус». Им же введен важнейший топологический инвариант - фундаментальная группа пространства, состоящая из гомотопических классов замкнутых путей с началом и концом в общей точке – и построена топологическая теория накрытий. До последнего времени оставалась не решенной гипотеза Пуанкаре, связанная с классификацией трехмерных поверхностей: всякое ли односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере? Значимым результатом начала начала XXI века, является ее решение Г. Перельманом.

В начале XX века М. Фреше ввел понятие метрического пространства, Ф. Хаусдорф определил топологическое пространство. Были заложены основы теории размерности (Л. Брауэр, А. Лебег, П.С. Урысон, К. Менгер), создана аксиоматика топологических пространств (П.С. Александров) и даны доказательства простейших свойств непрерывных отображений. В работах П.С. Александрова и П.С. Урысона была развита теория (би)компактных пространств, для которых А.Н. Тихоновым была получена теорема о произведении. П.С. Александров ввел понятие локально конечного покрытия, которое Ж. Дьедонне использовал для определения паракомпактности. А.Н. Тихонов определил вполне регулярные или тихоновские пространства. Дж. Александер доказал топологическую инвариантность гомологий. П.С. Александров определил понятие нерва покрытия и появилась общая теория гомологий (Л. Вьеторис, Е. Чех). Э. Нетер показала, что числа Бетти реализуются как ранги групп гомологий. Л.С. Понтрягин получил закон двойственности, связывающий группы гомологий любого ограниченного замкнутого подмножества евклидова пространства с группами гомологий его дополнения. Работа над законом двойственности вылилась в построение общей теории характеров коммутативных групп. Дж. Морс открыл топологические методы вариационного исчисления.

В дальнейшем А. Стоун и Е. Чех развили идеи А.Н. Тихонова, введя понятие максимального (Стоун-Чеховского) бикомпактного расширения вполне регулярного пространства. Были введены равномерные пространства (А. Вейль) и пространства близости (Ю.М. Смирнов). В. Гуревичем были введены гомотопические группы (классы отображений сферы в пространство, с фиксированным образом одной точки) . Ранее Х. Хопфом была показано, что гомотопическая классификация отображений n-мерных многообразий в n-мерную сферу определяется степенью отображения. Е. Чехом были определены группы гомологий произвольных пространств и построено кольцо когомологий. Х. Уитни создал теорию дифференцируемых многообразий и их вложений в евклидово пространство. Были аксиоматизировны гомологические и когомологические группы (Н. Стинрод, С. Эйленберг). Проведено исследование проблемы неподвижных точек отображений многообразий в себя (С. Лефшец, П. Смит). Одним из важнейших инструментов топологии явились характеристические классы, открытые Л.С. Понтрягиным, и названные его именем. Полное решение проблемы топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина получено С.П. Новиковым. М.М. Постников установил, что гомотопические группы и введенные им высшие когомологические операции являются инвариантами, полностью определяющими гомотопический тип клеточного пространства. Это лишь краткое описание результатов в топологии первой половины XX века.

Топологические закономерности были обнаружены в таких разделах математики как в теории функций, комплексном анализе, качественной теории динамических систем и уравнений с частными производными, теории операторов, алгебре. С начала 70-х годов XX века топологические методы начали активно применяться в физике. В первую очередь в теории поля, общей теории относительности, физике анизотропных сплошных сред и низких температур, квантовой теории.

К классам топологических пространств, сформировавшихся из требований математики, относятся многообразия, полиэдры, CW-комплексы, подпространства евклидовых пространств, пространства функций. Ряд классов пространств (метризуемые, (би)компактные) были выделены аксиоматически, путем фиксации некоторого важного топологического свойства. Для исследования топологического объекта, принадлежащего специфическому классу пространств, применяются специфические методы. Эти методы столь разнообразны, что иногда говорят о распадении топологии на ряд далеких друг от друга дисциплин – разделов топологии. Основными разделами топологии являются: алгебраическая топология, общая топология, геометрическая топология, дифференциальная топология.

Общая или теоретико-множественная топология - это раздел топологии, аксиоматически изучающий непрерывность. Именно алгебра и общая топология в настоящее время являются базой теоретико-множественного подхода к математике.

Основными объектами общей топологии являются топологические пространства, равномерные пространства, (би)компактные пространства, метризуемые пространства, непрерывные и равномерно непрерывные отображения, а основными инвариантами являются размерность, связность, кардинальные инварианты.

К основным теоремам общей топологии относятся: теорема Гейне-Бореля о компактности ограниченного и замкнутого подмножества Rⁿ; теорема о бикомпаткности непрерывного образа бикомпакта; теорема Тихонова о бикомпактности произведения бикомпактов; связность интервала числовой прямой; нормальность и паракомпактность метризуемого пространства; теорема Титце о продолжении функции с замкнутого подмножества нормального пространства на все пространство; теорема Бэра о полноте; теорема о разбиении единицы на паракомпакте. 

Алгебраическая или комбинаторная топология - это раздел топологии, возникший для изучения таких свойств геометрических фигур и их отображений друг в друга, которые не меняются при непрерывных деформациях (гомотопиях). При этом определяющая роль принадлежит алгебраическим понятиям и методам.

Основными объектами алгебраической топологии являются симплициальные и клеточные комплексы; гладкие, аналитические, кусочно-линейные и непрерывные многообразия (замкнутые, открытые, с краем); косые произведения, расслоения и их сечения; непрерывные, кусочно-линейные и гладкие отображения, которые в свою очередь могут быть вложениями, погружениями и деформациями.

К основным проблемам алгебраической топологии относятся классификация многообразий относительно гомеоморфизмов; классификация вложений относительно регулярных гомотопий; классификация непрерывных отображений относительно гомотопий.

Рекомендуемая литература

Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология, М. Библиотечка Кванта, 1982.

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.

Новиков С.П. Топология в XX веке: взгляд изнутри. Успехи математических наук, 2004, т. 59, вып. 5(359), 3-28.

Спеньер Э. Алгебраическая топология, М. 1971.

Энгелькинг Р. Общая топология, М., 1986.