Метрическое пространство

Метрика, расстояние на множестве X, — это определенная на произведении X×X функция ρ с неотрицательными действительными значениями, удовлетворяющая при любых  x, y условиям:

1)      ρ(x,y) = 0 в том и только том случае, если x = y (аксиома тождества);

2)      ρ(x,y) = ρ(y,x) (аксиома симметрии);

3)      ρ(x,y) + ρ(y,z) ≥ ρ(x,z) (аксиома треугольника).

Метрика на X порождает топологию на X: точка z принадлежит замыканию множества A в том и только том случае, если в A есть точки, сколь угодно близкие к z. Топологическое пространство X метризуемо, если существует такая метрика ρ на X, что  порождаемая метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства X. 

Понятие метрического пространство ввел М. Фреше (1906). В течении многих лет внимание топологов было приковано к метрическим пространствам, класс которых является наиболее хорошо изученным.

Каждое метризуемое пространство паракомпактно и удовлетворяет первой аксиоме счетности. Достаточным условием метризуемости регулярного  пространства является наличие  счетной базы. Существуют различные критерии метризуемости топологических пространств, первый из которых был предложен П.С. Александровым и П.С.Урысоном (1923).

Подпространства, счетные произведения, совершенные образы, открыто-замкнутые образы метризуемых пространств метризуемы. Для метризуемого   пространства  совпадает ряд кардинальных инвариантов: вес, число Суслина,  плотность и число Линделефа. 

Метрическое пространство X называется полным (а его метрика — полной), если любая последовательность Коши сходится к некоторой точки пространства X. Каждое метризуемое пространство вложимо в пространство, метризуемое полной метрикой. Метризуемые полной метрикой пространства обладают свойством Бэра: пересечение любого счетного семейства открытых всюду плотных множеств всюду плотно. Пространство называется польским, если оно сепарабельно и метризуемо полной метрикой. Пространство ограниченных отображений  топологического пространства в метрическое пространство в топологии равномерной сходимости является важным примером метризуемого пространства.  В частности, группа гомеоморфизмов метрического компакта является польским пространством. 

Рекомендуемая литература.

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.

Куратовский К. Топология , т.1, т.2, М., 1966.

Энгелькинг Р. Общая топология, М., 1986.