Зарегистрироваться

Связность

Категории Топология | Под редакцией сообщества: Математика

Топологическое пространство X называется связным, если X нельзя представить в виде  объединения двух непустых непересекающихся открытых множеств. Нестрого говоря, X нельзя представить в виде двух отделенных друг от друга частей. Пространства, не являющиеся связными, называются несвязными.

Определение связности было дано К.Жорданом (1893) для компактных подмножеств плоскости, обобщение на абстрактные пространства было осуществлено Ф.Риссом (1907).

Понятие связности обобщает понятие линейной связности, т.е. свойства пространства, заключающегося в возможности соединить любые его две точки некоторым путем – непрерывным образом отрезка. Пространство называется связным в размерности n, если каждое непрерывное отображение n-мерной сферы в него продолжается до непрерывного отображения (n+1)-мерного шара, имеющего границей данную сферу. Связность в размерности 1 (односвязность) эквивалентна тривиальности фундаментальной группы пространства. Связность сохраняется непрерывными отображениями в сторону образа. Класс связных пространств замкнут относительно произведений, а в случае компактов – относительно перехода к обратному пределу. Связное компактное пространство (континуум) нельзя представить в объединения счетного семейства непустых дизъюнктных замкнутых множеств (В.Серпинский (1918)).

Для всякой точки топологического пространства объединение всех связных подмножеств, ее содержащих, есть наибольшее связное подмножество, ее содержащее, называемое компонентой точки.  Квазикомпонентой точки называется пересечение всех открыто-замкнутых подмножеств, содержащих эту точку. Компонента точки содержится в ее квазикомпоненте, и они совпадают в компактных пространствах.

К числу пространств, обладающих высокой степенью несвязности относятся:

  • наследственно несвязные пространства (пространство X наследственно несвязно, если X не содержит никакого связного подпространства, содержащего более одной точки, т.е. все компоненты одноточечны; Ф. Хаусдорф (1914));
  • вполне несвязные пространства (X вполне несвязно, если все квазикомпоненты одноточечны; В.Серпинский (1921));
  • индуктивно-нульмерные пространства (X индуктивно-нульмерно, если X обладает базой из открыто-замкнутых множеств; В.Серпинский (1921); их также называют нульмерными);
  • нульмерные пространства (X нульмерно, если dim X=0; их также называют сильно нульмерными);
  • экстремально несвязные пространства (X экстремально несвязно, если замыкание любого открытого множества открыто; М.Стоун (1937)).

 

Рекомендуемая литература.

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.

Энгелькинг Р. Общая топология, М., 1986. 

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.