Топологическое пространство

Топологическое пространство – это пара (X,Ơ), состоящая из множества X и некоторого семейства Ơ подмножеств множества X, удовлетворяющего следующим условиям:

(О1) Ø Ơ, X  Ơ;

(О2) Если U  Ơ  и  V  Ơ,  то U∩V  Ơ;

(О3) Если каждое множество произвольного семейства {U_α} принадлежит Ơ,  то {U_α}  Ơ.

Всё множество X называется пространством, его элементы называются точками, подмножества X, принадлежащие семейству  Ơ, называются открытыми в X,   дополнения до открытых множеств называются замкнутыми множествами,  семейство Ơ называется топологией на X.

Абстрактные пространства с топологической структурой впервые были введены М. Фреше (1906) (в терминах сходящихся последовательностей)  и Ф.Риссом (1907, 1908) (в терминах точек накопления). Первое удовлетворительное определение топологического пространства было дано Ф.Хаусдорфом (1914). Он развил идеи Д.Гильберта (1902) и Г.Вейля (1913), придал необходимую общность понятиям, введенным предшественниками и развил систематическую теорию. Приведённое определение топологического пространства,  принятое теперь повсеместно, было сформулировано К.Куратовским (1922) в терминах оператора замыкания.

Топологию на множестве можно задавать с помощью базы топологии, базы замкнутых множеств,  оператора замыкания, оператора внутренности. На множествах, снабженных дополнительной структурой, также используются свои естественные способы задания топологии. 

Для топологических пространств определено понятие непрерывного отображения одного пространства в другое.  Отображение f: X→Y непрерывно, если прообраз открытого множества открыт (одна из возможных формулировок).

Конкретное изучение топологических пространств связано прежде всего с выделением из общего класса этих пространств подклассов, характеризующихся теми или иными дополнительными условиями или аксиомами. Это прежде всего аксиомы отделимости, которые выделяют  T₁, хаудорфовы, регулярные, тихоновские, нормальные, наследственно нормальные, совершенно нормальные пространства.

На топологических пространствах определены операции, в числе которых: переход к подпространству, произведение пространств, переход к факторпространству, предел обратного спектра, экспонента пространства.

Рекомендуемая литература.

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.

Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции, М., 1988.

Энгелькинг Р. Общая топология, М., 1986.