Фундаментальная группа

Фундаментальная группа – группа закрепленных петель (непрерывных путей с фиксированными и совпадающими концами) на поверхности, рассматриваемых с точностью до непрерывных деформаций.

В алгебраической топологии фундаментальной группой называют множество классов гомотопных направленных петель (непрерывных отображений отрезка в пространство), начинающихся и заканчивающихся в отмеченной точке топологического пространства. Для топологических пространств с клеточным разбиением (разбиением на диски разных размерностей) фундаментальная группа определяется двумерным остовом пространства, т.е. совокупностью дисков размерности не более двух.

Умножение петель в фундаментальной группе задается последовательным прохождением петель, обратный элемент – это та же петля, пройденная в обратном направлении. Для линейно связного пространства X фундаментальная группа не зависит (с точностью до изоморфизма) от отмеченной точки  пространства X и ассоциативна. Например, фундаментальная группа евклидова пространства тривиальна, а фундаментальная группа окружности совпадает с группой целых чисел по сложению. Фундаментальная группа двумерных ориентируемых замкнутых многообразий рода g порождена 2g образующими с одним соотношением:

Для любой пары топологических пространств с отмеченными точками (X,x₀) и (Y,y₀), существует естественный изоморфизм   Для клеточного пространства, нульмерный остов которого состоит из единственной точки каждая одномерная клетка задает образующую фундаментальной группы , а каждая двумерная клетка задает соотношение, отвечающее приклеивающему отображению этой клетки. Поэтому свободные группы и только они могут быть реализованы как фундаментальные группы графов, а произвольная конечно-порожденная группа может быть реализована как фундаментальная группа двумерного клеточного комплекса.  Фундаментальная группа не обязательно коммутативна, и ее факторгруппа по коммутанту совпадает с группой одномерных гомологий с целочисленными коэффициентами.

Непрерывное отображение пространств влечет гомоморфизм их фундаментальных групп. Два гладких многообразия M и N называются гомотопически эквивалентными, если существуют два гладких отображения и  композиции которых в обоих порядках гомотопны (связаны непрерывным семейством отображений) тождественным отображениям многообразий в себя. Фундаментальные группы гомотопически эквивалентных многообразий совпадают.

Рекомендуемая литература.

Рохлин В. А., Фукс Д. Б., Начальный курс топологии, М., 1977.