Зарегистрироваться

Теория групп

Категории Алгебра | Под редакцией сообщества: Математика

Группы, теория групп – изучает в наиболее общей форме свойства групп. Понятие группы явилось одним из первых и главных примеров абстрактных алгебраических систем, которое приобрело общематематическое значение благодаря вездесущности групповых операций в математике и в естествознании, а также глубине и силе результатов развитой теории.

         Под группой понимается любое непустое множество G с одной бинарной операцией G ´ GG (которую будем записывать мультипликативно: (a, b) → ab  G  для a, b  G), удовлетворяющее следующим аксиомам:

1)     операция ассоциативна, т.е. (ab)c = a(bc) для любых a, b, c  G;

2)     существует  такой элемент  e  G (называемый единицей группы), что ae = a = ea  для всех a  G;

3)     для любого элемента a G существует такой элемент b G (называемый обратным элементом для a), что ab = e = ba (обозначение: b = a-1).

         Условия 2) и 3) можно изменить на эквивалентное условие: для любых элементов a, b G существуют такие элементы x, y  G, что  ax = b  и  ya = b.

В любой группе однозначно определены: единица e; обратный элемент a-1 для любого элемента a  G; решения уравнений ax = b  (x = a-1 b и   ya = b (yba-1 ) для любых a, b  G.

Из ассоциативности операции ((ab)c = a(bc) для любых трех сомножителей a, b, c  G) в группе G следует обобщенная ассоциативность для k сомножителей при k≥3: результат операции на k сомножителях не зависит от возможной расстановки скобок (это позволяет в группе не указывать расстановку скобок для произведений).

Число элементов n = |G| конечной группы G называется ее порядком. Операция умножения в случае конечной группы G =  {g1, …,gn } порядка n задается таблицей Кэли, в которой на пересечении i-ой строки и j-го столбца стоит элемент gi gj.

Если G и G' - группы, то отображение f : G G', для которого f(ab) = f(a)f(b) для всех a,b  G, называется гомоморфизмом групп. Биективный гомоморфизм  называется  изоморфизмом.  При     наличии     изоморфизма     f : G G' группы G  и G' называются изоморфными, обозначение: G  G'.

Класс всех групп образует категорию групп Gr, в которой объекты - группы, морфизмы - гомоморфизмы групп.

При исследовании строения тех или иных классов групп под задачей классификации понимается описание групп этого класса с точностью до изоморфизма. Простейшим примером является классификация циклических групп ( т.е. групп G = <a>, порожденных одним элементом a  G, это означает, что каждый элемент g  G является целой степенью элемента a, g=an, n  Z): любые две бесконечные циклические группы изоморфны  и изоморфны группе (Z,+) целых чисел с операцией сложения; любые две конечные циклические группы одного порядка n изоморфны и изоморфны группе всех комплексных корней n-ой степени из 1.

Начало развития теории групп относится к 18 веку. Уже в «Мемуаре об алгебраическом решении уравнений» Ж.Лагранжа (J.Lagrange, 1771) рассматривались группы подстановок и их разложения на смежные классы по подгруппам. В работах Н. Абеля (N.Abel,1824) и Э. Галуа (E.Galois, 1830) были установлены глубокие связи между свойствами алгебраического уравнения и свойствами группы подстановок на множестве корней уравнения. Э.Галуа, развивая идеи Лагранжа и Абеля, прояснил роль нормальных подгрупп и абстрактных свойств группы Галуа уравнения в проблеме разрешимости алгебраического уравнения в радикалах, установил простоту знакопеременной группы An (группы четных подстановок) при n≥5.

Решетка подгрупп группы Галуа расширения полей заняла заметное место в теории Галуа  полей. Р.Дедекинд (R.Dedekind), изучая решетку идеалов кольца целых алгебраических чисел, открыл для них модулярное решеточное тождество. Решетка всех нормальных подгрупп группы всегда модулярна.

В своем обстоятельном трактате К. Жордан (C.Jordan,1870) подвел итоги первого столетия исследований в теории групп (в этот период изучались лишь конечные группы преобразований).

В родственной алгебре теории чисел Л. Эйлер (L.Euler, 1761) рассматривал классы вычетов и сравнения, фактически используя разбиения на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс (C.Gauss, 1801) в своих «Арифметических исследованиях», рассматривая уравнение деления круга, определил подгруппы его группы, а при исследовании «композиции квадратичных форм» фактически доказал, что классы эквивалентных форм образуют (с операцией композиции) конечную абелеву группу.

Другим важным истоком развития теории групп всегда служила геометрия, исследуя поведение фигур при геометрических преобразованиях и изучая сами группы преобразований. А. Мёбиус (A.Möbius) рассматривал конгруэнтность, подобие, коллинеацию геометрических фигур, и подошел, фактически, к введению понятия топологической эквивалентности. А.Кэли (A.Cayley,1854), классифицируя геометрии, доказал, что всякая конечная группа представима подстановками (т.е.  вложима в соответствующую группу подстановок), и пришел к заданию группы образующими и определяющими соотношениями. С появлением в 19 веке многочисленных «геометрий» и исследованием связей между ними значительным событием в математике явилась «Эрлангенская программа» Ф. Клейна (F.Klein, 1872), в которой в основу классификации геометрий было положено понятие группы преобразований.

В работах Ф.Клейна с С.Ли (S.Lie) было начато исследование бесконечных дискретных и топологических групп. Трехтомный трактат С.Ли и Ф.Энгеля (F.Engel), 1883-1893, зафиксировал рождение новой области в теории групп - теории групп Ли.

Все кристаллографические группы были перечислены Е.С. Федоровым (1889) и, независимо, А.Шенфлисом (A.Schonfliesz, 1890), Е.С.Федоров также классифицировал все группы орнаментов. Это был один из первых ярких примеров успешного применения теоретико-групповых методов в естествознании.

Таким образом, к концу 19 века была полностью осознана важность теоретико-групповых идей и методов в математике, и было выработано современное абстрактное определение группы (Кэли, Ли, Фробениус (F.G.L.Frobenius) и др.).

Первую книгу по абстрактной теории групп опубликовал У.Бернсайд (W.Burnside, 1897), все еще рассматривающий только конечные группы. Рассмотрение групп без предположения об их конечности стало общепринятым после выхода в 1916 году книги О.Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп». В монографии А.Г.Куроша «Теория групп» 1944 года бесконечные группы уже вышли на ряд приоритетных направлений.

Истоки комбинаторной теории групп, изучающей задание группы образующими и определяющими соотношениями, можно найти в работах: Ф.Клейна; А. Пуанкаре (H. Poincare) (предложившего в 1895 понятие фундаментальной группы); В. фон Дика (W. von Dyck) (доказавшего в 1882 существование свободной группы); Х.Титце (H.Tietze) (в 1908 рассмотрел вопрос об изоморфизме групп при различных заданиях); М.Дэна  (M.Dehn) (рассмотревшего в 1910 проблемы равенства, сопряженности и изоморфизма). Р.Ремак (R.Remak, 1911) и О.Ю. Шмидт (1913), обобщив теорему об однозначности разложения группы в прямое произведение неразложимых сомножителей с конечных абелевых групп на класс всех конечных групп, заложили основы теории прямых разложений групп. Нильсен (J.Nielsen, 1921) и Шрайер (O.Schreier, 1927) доказали, что подгруппа свободной группы свободна. Ван Кампен (E.R. van Kampen, 1933) предложил геометрическую интерпретацию вывода следствий из определяющих соотношений групп. Теорема А.Г.Куроша (1934) дает описание строения подгрупп свободного произведения групп. И.А. Грушко (1940) и Б. Нейман (B.H.Neumann, 1943) развили метод Нильсена для свободных произведений  и описали системы порождающих для таких групп.

Теория представлений групп восходит к работам Эйлера, А.-М.Лежандра (A.-M. Legendre), Гаусса, в которых появилось понятие характера коммутативной группы; разложение периодических функций в ряды Фурье в работах Ж.Фурье (J.B.J.Fourier) можно рассматривать как начало гармонического анализа. В  конце 18 века и в начале 19 века работами Г.Фробениуса, И.Шура (I.Schur), У.Бернсайда, Ф.Э.Молина, Р.Брауэра (R.Brauer) были заложены основы теории (конечномерных) линейных представлений (и теории характеров) конечных групп, в которой вместе с «абстрактной» группой G рассматриваются все ее гомоморфизмы в «конкретные» линейные группы GLn(K) над полями K (или, что тоже самое, модули над групповой алгеброй KG группы G над полем K). На дальнейшее развитие этого направления теории групп оказала сильное влияние монография Г.Вейля (H.Weyl, 1939), подведя итог этого периода.

Дж. фон Нейман (J. von Neumann), Г.Вейль, Э.Картан (E.J.Cartan) заложили основы теории представлений групп Ли и топологических групп. Теория двойственности Л.С.Понтрягина для характеров локально компактных абелевых групп явилась краеугольным камнем в основании топологической алгебры.

Группы когомологий групп были введены С.Эйленбергом (S.Eilenberg) и С.Маклейном (S.MacLane) в 1943 в связи с топологическими исследованиями, а также Д.К.Фаддеевым в 1947 как группы классов систем факторов для расширений групп. По аналогии с группами Г.Хохшильд (G.Hochschild) в 1945 построил теорию когомологий ассоциативных алгебр. В 1948 К.Шевалле (C.Chevalley) и С.Эйленберг определили когомологии алгебр Ли. В 1954 И.Р. Шафаревич решил обратную задачу теории Галуа для разрешимых групп.

В 30-е и 40-е годы на основе выработанного понятия алгоритма было начато исследование логических проблем теории групп, в частности, была установлена алгоритмическая неразрешимость ряда задач теории групп (например, П.С. Новиков (1943) установил неразрешимость проблем тождества, сопряженности и изоморфизма для групп). А.И. Мальцев (1941) на основе своей локальной теоремы узкого исчисления предикатов создал общий подход для доказательства локальных теорем в теории групп.

Примеры групп, приводимые ниже, имеют целью отразить многообразие групповых операций.

1.                Аддитивная  группа (R, +) кольца R; мультипликативная группа      K* =(K \ 0, ·) поля K, группа U(R) обратимых элементов кольца R.

2.                Группа подстановок Sn множества из n элементов (симметрическая группа), группа An четных подстановок (знакопеременная группа).

3.                Группа симметрий геометрической фигуры (совокупность всех преобразований пространства, совмещающих данную фигуру с ней самой). Среди них: группа симметрий Cn правильного ориентированного n-угольника и группа Dn всех симметрий правильного n-угольника.

    Конечные группы симметрий платоновских тел (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр) встречаются как группы симметрий молекул.

Одна из основных задач кристаллографии – классификация правильных пространственных систем точек (решена Е.С.Федоровым в 1890 г.: существует 17 плоских и 230 пространственных федоровских групп).

Для любого n: группа GLn (C) обладает абелевой нормальной подгруппой A, индекс (G:A) которой ограничен константой Y(n); число неизоморфных конечных подгрупп в группе GLn (Z) обратимых целочисленных n´n-матриц конечно. На этом пути возникают группа симметрий узора (орнамента), группа симметрий кристалла, группа симметрий молекулы, группа симметрий физических законов (группа Галилея-Ньютона; группа Лоренца), дискретные группы движений.

4.                Линейные группы GLn(K) обратимых (n´n)-матриц над полем K (или группы GLn(R)  обратимых (n´n)-матриц над кольцом R), являющиеся группами автоморфизмов n-мерного линейного пространства над полем K (свободного R-модуля с базисом из n элементов), в частности конечные линейные группы GLn(Fq)   с коэффициентами из конечного поля Fq из q элементов. Группы автоморфизмов других алгебраических систем (групп, полугрупп, колец и.т.д.) лежат в этом русле.

5.                Группа Галуа G=Gal(K/k) расширения полей kÌK состоит из автоморфизмов поля K, оставляющих все элементы подполя k неподвижными. Основная теорема теории Галуа устанавливает при определенных условиях антиизоморфное отображение решетки подгрупп группы G на решетку промежуточных подполей между k и K. Если f(x) - многочлен с коэффициентами из поля k, K - поле разложения многочлена f(x), то G=Gal(K/k) - группа Галуа многочлена f(x) (разрешимость уравнения f(x)=0 в радикалах равносильна тому, что группа G полициклическая)

Аналогично определяется группа Галуа расширений колец и других алгебраических систем. В частности, в дифференциальной алгебре аналогом теории Галуа явилась теория Пикара-Вессио расширений дифференциальных полей. 

6.               Свободная группа  F=F(X) на множестве символов X (множество приведенных (несократимых) слов A от символов x и x-1, xÎX, с операцией произведения слов A и B, которое получается, если написать слово B после A и провести потом все возникающие сокращения рядом стоящих x и  x-1 ,  пока не получится приведенное слово). Любая группа G является гомоморфным образом некоторой свободной группы G, на этом пути возникает задание группы образующими и соотношениями.

7.                Группа классов идеалов Cl(R) коммутативного кольца R состоит из классов изоморфных ненулевых идеалов кольца R с операцией, индуцированной умножением идеалов.

8.                Группа Брауэра Br(K) поля K состоит из центральных тел конечного ранга над полем K (с групповой операцией D1×D2=D, если тензорное произведение D1ÄKD2 изоморфно кольцу n´n-матриц Mn(D) над центральным телом D).

9.                Группы Extn R (A, B) и Torn R (C, D)  для производных функторов Ext и Tor функторов Hom и Ä, соответственно (здесь AR , BRCR - правые  R-модули, DR - левый  R-модуль над кольцом R).

10.           Группы Kn(R), n³0,  R-кольцо, K-функторов алгебраической K-теории (функтор K0(R) связан с размерностью R-модуля; функтор K1(R)  связан с определителем автоморфизма R-модуля; функтор K2(R)  связан с универсальным центральным расширением группы элементарных матриц с элементами из R).

11.           Фундаментальная группа p(X, x0) топологического пространства X (в точке x0) образована замкнутыми путями с началом и концом в точке x0, рассматриваемыми с точностью до гомотопии, относительно умножения, определяемого композицией путей. Если любые две точки пространства X можно соединить путем, то группы p(X, x0) для всех x0ÎX изоморфны, и эта группа p(X) называется фундаментальной группой пространства X.

Группа узла непересекающей себя замкнутой кривой Г в трехмерном пространстве R3, определяется как фундаментальная группа p(R3\Г) дополнения R3\Г.

Группа кос K(n) играет центральную роль в теории кос (раздел топологии и алгебры), коса определяет движение n несклеивающихся точек, рассматриваются классы замкнутых кос с точностью до изотопии с операцией, индуцированной композицией кос. Группа кос допускает интерпретацию в виде фундаментальной группы соответствующего топологического пространства.

Гомотопические группы pn(X) топологического пространства X являются главными героями теории гомотопий.

12. Группы гомологий топологических пространств: каждому топологическому пространству X сопоставляется семейство абелевых групп Hi(X), i=0,1,2,…; каждому непрерывному отображению f:X®Y    сопоставляется семейство гомоморфизмов fi:Hi(X)®Hi(Y). В алгебраической топологии решение многих топологических задач сводится к вопросам для групп гомологий.

13.     Группы Ли  и алгебраические группы (группы, задающиеся непрерывно меняющимися параметрами). Простейший пример – группа вращений трехмерного пространства, возникающая при описании движения твердого тела с неподвижной точкой (это факторгруппа     группы    кватернионов    q=a+bi+cj+dk  с нормой  a2 + b+c2 +d2=1 по подгруппе {±1}, которую можно отождествить с трехмерным проективным пространством P3). Группа Ли G является одновременно дифференцируемым многообразием и группой, при этом отображения

G ´ G ® G,  (g1 , g2) ®  g1 × g,   G ® G,    g ® g-1

являются дифференцируемыми.

Один из наиболее важных классов групп Ли образуют компактные группы Ли. В первую очередь, это торы (факторгруппы T=V/C вещественного линейного пространства V=Rn по решетке C=Zn, при этом  T@(R/Z)´´(R/Z) - прямое произведение окружностей), использующиеся в теории рядов Фурье, в теории вполне интегрируемых систем. Среди классических серий компактных групп Ли отметим следующие: ортогональные группы O(n) всех ортогональных преобразований n-мерного евклидова пространства; унитарные группы U(n) всех унитарных преобразований n-мерного эрмитова комплексного пространства; унитарно симплектические группы SpU(n) всех линейных преобразований n-мерного линейного пространства Hn над телом кватерионов H, сохраняющих каноническое скалярное произведение.

Отметим также три серии комплексно-аналитических групп Ли: полная линейная группа GLn(C) обратимых n´n-матриц над полем C комплексных чисел; ортогональная подгруппа On(C) группы GLn(C); симплектическая подгруппа Sp2n(C) группы GL2n(C).

В качестве примеров алгебраических групп отметим подгруппы полной линейной группы GLn(K) над произвольным полем K, которые задаются алгебраическими уравнениями с коэффициентами из K: SLn(K), O(f,K) - группа матриц, сохраняющих квадратичную форму f с коэффициентами их K; Sp2n(K); Tn(K) - группа треугольных матриц; UTn(K) - группа унитреугольных матриц.

Различные конструкции групп (прямого произведения, полупрямого произведения, голоморфа, сплетения, свободного произведения, амальгамы) позволяют значительно расширить число примеров.

Структурная теория групп в настоящее время представляет одну из самых развитых областей алгебры и математики в целом. Отметим наиболее изученные классы групп.

Теория конечных групп – старейшая и, в то же время, наиболее активно развивающаяся ветвь теории групп. Одним из крупнейших результатов явилось завершение классификации конечных простых групп, включающей серии групп алгебраического типа, знакопеременные группы An при n³5 и 26 спорадических простых групп (среди которых наибольшая группа Большой Монстр имеет порядок

246×320×59×76×112×132×17×19×23×29×31×41×47×59×71).

Исключительная роль конечных простых групп объясняется тем, что из них может быть построена любая конечная группа. Обстоятельно исследованы конечные разрешимые группы по свойствам различных систем подгрупп (силовских, холловских,  картеровских  и  др.)   Отметим теорему  У. Фейта (W.Feit) и Дж.Томпсона (J. Thompson) 1963, о том, что все конечные группы нечетного порядка разрешимы. Теория групп подстановок и теория линейных групп над конечными полями образуют крупные развитые направления теории конечных групп.

Абелевы группы. Теорема Г.Фробениуса и Л. Штикельбергера (L.Stickelberg), 1878, о том, что конечная абелева группа является прямой суммой примарных циклических групп, и ее обобщение (теорема о строении конечнопорожденных абелевых групп) нашли широкое применение в математике и ее приложениях. Наиболее изучены: полные (делимые) абелевы группы; свободные абелевы группы и абелевы группы без кручения; периодические абелевы группы (в частности, их сервантные и примарные подгруппы). Развитые гомологические методы теории расширений абелевых групп позволяют в ряде случаев сводить рассмотрение общего случая к этим классам групп. Существенную роль играют функторы Hom и Ä на категории абелевых групп, изучение колец эндоморфизмов End (G) и групп автоморфизмов Aut(G) абелевых групп G.

Также хорошо развита теория нильпотентных и разрешимых групп, содержащих все абелевы группы, а также многочисленных их обобщений: локально нильпотентных групп; локально разрешимых групп; групп с нормализаторным условием; групп с субнормальными системами подгрупп различного типа.

При исследовании бесконечных групп в первую очередь были рассмотрены классы групп с теми или иными условиями конечности: периодические группы; локально конечные группы; группы с условием максимальности для подгрупп; группы с условием минимальности для подгрупп; конечно порожденные группы; группы конечного ранга; финитно аппроксимируемые группы. Так, например, серьезный прогресс был получен по проблеме Бернсайда (1902): всякая ли конечно порождённая периодическая группа локально конечна? Е.С. Голод (1964) построил пример бесконечной конечно порожденной периодической группы. П.С. Новиков и С.И. Адян (1968) решили ограниченную проблему Бернсайда, доказав бесконечность свободной бернсайдовской группы B(d, n)  многообразия групп с тождеством xn=1 и d свободными образующими, d³ 2, где n - нечетное число, n³ 4381 (в дальнейшем: оценка была понижена С. И. Адяном до n³ 665); С.В. Иванов и И.Г. Лысёнок получил решение этой проблемы для достаточно больших четных n ).

Ослабленная проблема Бернсайда (о существовании в классе конечных групп с d образующими и тождественным соотношением xn=1 максимальной группы B0(d, n) такой, что  все группы из этого класса являются ее гомоморфными образами) была редуцирована Ф.Холлом (Ph. Hall) и Г.Хигмэном (G.Higman) к примарному случаю n=pk , pпростое число, и положительно решена А.И. Кострикиным (1959) для n=p при k=1 и Е.И. Зельмановым (1989) для любого k.

Отметим также, что А.Ю. Ольшанский (1980) решил проблему О.Ю.Шмидта (1938) о существовании бесконечных неабелевых групп, все собственные подгруппы которых конечны, при этом он построил бесконечную группу, всякая собственная подгруппа которой является конечной циклической группой простого порядка p. Геометрия определяющих соотношений стала мощным инструментом комбинаторной теории групп.

Ж.-П. Серр (J.-P.Serre) и Х. Басс (H.Bass) заложили (1968-1969) основы теории групп, действующих на деревьях. В геометрической теории групп с 80-х годов стремительно развивается теория гиперболических групп, далеко обобщающая фундаментальные группы компактных римановых многообразий отрицательной кривизны и развивающая методы исследования дискретных групп движений гиперболических пространств.

Исследование тождеств в группах и относительно свободных групп привело к формированию теории многообразий групп.

Методы алгебраической геометрии способствовали активному развитию алгебраических групп, теории инвариантов, групп Шевалле над полями и коммутативными кольцами. Проблемы развития алгебраической K-теории во многом стимулировали дальнейшее изучение строения линейных групп над полями, телами, кольцами (строение подгрупп, изоморфизмов, гомоморфизмов, автоморфизмов, вопросы стабилизации). Так, Й. Меннике (J.L.Mennike, 1965), Х.Басс, Дж. Милнор (J.Milnor), Ж.-П. Серр (1967) доказали, что при n³ 3 в группе  SLn(Z) всякая нормальная подгруппа, не лежащая в центре, содержит конгруэнц-подгруппу.

Современная теория представлений групп и теория характеров представляет сложившуюся область, обогащенную методами теории колец и гомологической алгебры с мощным арсеналом технических средств для изучения абстрактных групп.

Теория гомологий групп занимает достойное место в современной гомологической алгебре как наиболее развитый отдел.

Активно изучаются производные структуры, связанные с группой G, например: группа автоморфизмов Aut(G); решетка подгрупп L(G); полугруппа эндоморфизмов End(G). Исследуются: радикалы групп, радикальные и полупростые классы; формации групп; формальные группы.

Возникла алгебраическая геометрия в группах, связанная с решением систем уравнений в группах.

Продолжается активное изучение групп с дополнительными структурами, согласованными с групповой операцией, среди них: топологические группы и группы Ли; алгебраические группы; упорядоченные группы.

Теория групп еще более расширила области своего применения: механика, физика ( квантовая механика, ядерная физика, теория элементарных частиц); кристаллография; спектроскопия; криптография; информатика. В прикладных задачах возникли многие обобщения понятия группы.

 

ЛИТЕРАТУРА

1.     Адян С.И., Проблема Бернсайда и тождества в группах, М., 1975.

2.     Ван дер Варден Б.Л. , Алгебра, пер. с нем., М., 1976.

(Современная алгебра, пер. с нем., ОНТИ, М., 1934-1937; ОГИЗ, М.,1947).

3.     Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер. с англ., М., 1947.

4.     Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И., Основы теории групп, М., 1972; 2-е изд., М., 1977; 3-е изд., М., 1982.

5.     Кострикин А.И. , Вокруг Бернсайда, М., 1986.

6.     Курош А.Г., Теория групп, М.-Л., 1944; 2-е изд., М., 1953; 3-е изд., М., 1967.

7.     Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968.

8.     Линдон Р., Шупп П., Комбинаторная теория групп, пер. с англ., М., 1980.

9.     Нейман Х., Многообразия групп, пер. с англ., М., 1969.

10. Ольшанский А.Ю.,  Геометрия определяющих соотношений в группах, М., 1989.

11. Плоткин Б.И., Группы автоморфизмов алгебраических систем., М., 1966.

12. Понтрягин Л.С., Непрерывные группы., М.-Л., 1938; 2-е изд., М., 1954; 3-е изд., М., 1973.

13. Супруненко Д.А., Группа подстановок, Минск, 1996.

14. Федоров Е.С., Симметрия и структура кристаллов, М., 1949, с.111-258.

15. Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962.

16. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры, Ижевск, 1999.

17. Шмидт О.Ю. Абстрактная теория групп, Киев, 1916; 2-е изд. М., 1933; Изб. Труды. Математика, М., 1959. с. 17-70.

18. Burnside W., Theory of groups of finite order, Cambridge, 1897; 2-nd ed., Dover, 1911, 1955.

19. Huppert B., Endliche Gruppen, Bd. I (with Blackburn N.), 1979, Finite groups, vol. II, III, Berlin, 1982.

 

А.А.Клячко, А.В.Михалев, А.Л.Шмелькин

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.