Алгебраические системы

Одним из основных объектов изучения в современной алгебре является изучение множеств с заданным набором операция и заданным набором отношений. Под n-арной операцией f на множестве A понимается сопоставление каждому набору a из n элементов множества A нового элемента из A, называемым результатом f(a) применения f к набору a. При n=0 это означает фиксацию в множестве некоторого элемента. Так в целых числах имеются операции сложения и умножения арности 2, кроме того, имеется операция перехода к противоположному элементу -x, а также две 0-арные операции, фиксирующие числа 0 и 1. 

Помимо операций на множестве A могут быть заданы n-арные отношения, n>1, или предикаты, т.е. выделяются некоторые подмножества в множестве всех наборов из n элементов множества A. Это эквивалентно тому, что задано

отображение из множества всех наборов из n элементов множества в двуэлементное множество {0,1}. Примерами отношений являются отношения частичного порядка на целых, вещественных числах. В некоторых важных случаях отношения связаны с основными операциями. Например, в целых числах сложение чисел сохраняет порядок.

Множество с заданной системой операцией называется универсальной алгеброй. Множество с заданными наборами операций и отношений называется алдгебраической системой. Примерами универсальных алгебр являются группы, кольца, модули, векторные пространства, полугруппы и т.д. Примерами алгебраических систем являются упорядоченные группы, упорядоченные кольца и т.д.

Совокупность всех основных операций и предикатов называется сигнатурой системы.

С каждой алгебраической системой можно связать ее подсистемы, т.е. подмножества, замкнутые относительно основных операций. Ограничение каждого основного отношения на подсистеме задает соответствующее отношение на подсистеме.

Важной конструкцией является прямое произведение систем, как множество наборов элементов, в которых i-ые компоненты лежат в i-ой системею Основные операции действуют покомпонентно, Основой предикат выделяет те наборы элементов из прямого произведений, у которых для каждого индекса j все j-ые компоненты находятся в данном отношении. Другой важной конструкцией является конгруэнция в системе A – подалгебра

прямого произведения, содержащая все пары одинаковых элементов из A.

С двумя алгбраическими системами одной сигнатуры свзывается гомоморфизм, т.е. отображение одной системы в другую, согласованное с действиями операций и отношениями из сигнатуры. Биективный гомоморфизм алгебр называется изоморфизмом. Каждый гомоморфизм из системы A задает конгруэнцию – множество все пар из A, имеющих одинаковое значение при гомоморфизме, По каждой конгруэнции c строится факторсистема A/c и гомоморфизм из A на A/c, ядром которого является c. Доказывается теорема о гомоморфизмах, показывается, что образ алгебры при гомоморфизме изоморфен факторалгебре по ядру гомоморфизма.