Рациональное число

Рациональное число (от латин. ratio – отношение, деление, дробь) – число, представимое обыкновенной дробью m/n, где числитель m – целое число, а знаменатель n – натуральное число. Это число нужно понимать как результат деления m на n (даже если нацело разделить не удается). Сама идея необходимости деления и, как следствие, дробей и рациональных чисел восходит к глубокой древности. Уже древние греки понимали, что с помощью деления «единицы измерения» можно сколь угодно хорошо приблизить любую величину, чем объясняется значение рациональных чисел. Греки же осознали недостаточность множества рациональных чисел, открыв наличие несоизмеримых отрезков (например, катета равнобедренного прямоугольного треугольника с его гипотенузой). Однако само понятие иррационального числа возникает лишь в XVII веке. Совокупность всех вещественных чисел впервые рассматривается в работах Ньютона и, затем, формализуется Дедекиндом.

С точки зрения теории множеств, множество рациональных чисел счетно, т.е. существует взаимно-однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел. Совокупность рациональных чисел является полем, вполне упорядочена, и обладает свойством плотности в том смысле, что между любыми двумя рациональными числами содержится бесконечно много рациональных. Также рациональные числа образуют всюду плотное подмножество множества всех вещественных чисел, что является основой для рациональных приближений действительных чисел. Имеются и другие расширения поля рациональных чисел.

Интерес к рациональным приближениям чисел специального вида (например, корней полиномов) не ослабевает. Одной из причин этого является бурное развитие вычислительной техники, поскольку компьютер, по своей природе, может иметь дело только с рациональными числами.

Рекомендованная литература.

В.А.Зорич, Математический анализ. М.: ФАЗИС, 1997.