Зарегистрироваться

Цепная дробь

Категории Теория чисел | Под редакцией сообщества: Математика

Цепная дробь. Пусть – конечная или бесконечная последовательность целых чисел, причем при . Выражение вида

 

называется цепной или непрерывной дробью. Если последовательность конечна, цепная дробь равна некоторому рациональному числу. Если же последовательность бесконечна, выражению (1) также можно придать вполне определенное числовое значение, которое в этом случае будет иррациональным. Для краткости записи вместо выражения (1) используется или при конечной последовательности .

Рациональные числа

 

называются подходящими дробями цепной дроби . Числа называются неполными частными этой цепной дроби. Множество подходящих дробей конечной цепной дроби конечно. Числители и знаменатели подходящих дробей могут быть вычислены с помощью рекуррентных соотношений

 

Если цепная дробь бесконечна, то существует предел

 

причем – иррациональное число. Это число называется значением бесконечной цепной дроби. Различные бесконечные цепные дроби имеют различные значения. Для любой цепной дроби последовательность её подходящих дробей удовлетворяет неравенству

 

так что подходящие дроби хорошо приближают значение цепной дроби. В некотором смысле они являются наилучшими приближениями.

Пусть – действительное иррациональное число. Положим и определим бесконечные последовательности целых чисел и действительных чисел равенствами

 

Значение полученной таким способом цепной дроби равно разлагаемому числу . Этот алгоритм позволяет легко вычислять цепную дробь заданного числа и находить хорошие рациональные приближения к нему. Указанное здесь соответствие между бесконечными цепными дробями и иррациональными числами взаимно однозначно. Поэтому иногда пишут . Например,

  или  .

Цепная дробь иррационального числа периодична тогда и только тогда, когда - квадратичная иррациональность, т.е. корень многочлена второй степени с целыми коэффициентами ( Эйлер, Лагранж).

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.