Теория колебаний

Колебания – это процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые промежутки времени. Механические колебания – повторяющиеся изменения положений и скоростей каких-либо тел или частей тел – могут происходить при наличии упругих сил, силы тяжести и других сил. Широко распространены электрические колебания – повторяющиеся изменения напряжения и силы тока в электрических цепях и напряженности электрического и магнитного полей в пространстве вокруг этих цепей. Наконец, могут происходить смешанные электромеханические колебания, при которых изменения положения тел связаны с изменениями напряжения и силы тока в электрических цепях; такими колебаниями сопровождается, например, работа электроакустических преобразователей. Встречаются и другие типы «смешанных» колебаний, например, колебания объема газа сопровождаются колебаниями его температуры.

В зависимости от природы колебательных движений мы встречаемся с частотами колебаний, имеющими  самые различные значения. Так, например, частоты обращения планет Солнечной системы составляют величины порядка 10^-8 Гц, частоты вращения Земли и других планет вокруг собственной оси – порядка 10^-5 Гц, частоты колебаний маятников в часах – порядка 1 Гц. Частоты колебаний, изучаемых в акустике, лежат от 10¹ до 10¹⁰ Гц; в радиотехнике имеют дело с колебаниями частотой от 10¹ до 10¹² Гц. Оптический диапазон электромагнитных волн соответствует частотам  Гц и т.д.

Однако, несмотря на разную природу колебаний, в них обнаруживаются одни и те же физические закономерности; они описываются одними и теми же уравнениями, исследуются общими методами, разработка и применение которых составляют задачу теории колебаний.

Содержание

1. Основные положения

2. Механические колебания в дискретных системах

3. Колебания в сплошных системах

1. Основные положения

            С точки зрения кинематики колебаний наиболее важной характеристикой является их форма; она определяется видом той периодической или приблизительно периодической функции времени, которая описывает изменения колеблющейся величины.

Наиболее важными явля­ются гармонические колебания, т.е. колебания, происходящие по закону синуса или косинуса. В этом случае колебания некоторой физической величины  x с течением времени  t  можно записать в форме:

,                                        (1)

где А – амплитуда колебаний (максимальное отклонение от положения равновесия),  – круговая частота, измеряемая в рад/с или в с^-1,  – обычная частота (число колебаний в секунду), измеряемая в Гц, T – период колебаний,  – мгновенная фаза, а  – начальная фаза колебаний. Важность гармонических колебаний определяется рядом обстоятельств. Во-первых, они нередко встречаются на практике. Очень часто малые колебания, которые происходят в реальных системах, можно считать имеющими форму гармонических колебаний или очень близкую к ней. Во-вторых, гармонические колебания играют важную роль при изучении более сложных колебаний, по форме заметно отличающихся от гармонических, поскольку любое реальное колебание может быть представлено как сумма гармонических колебаний (с помощью преобразования Фурье). И в-третьих, для широкого класса систем (линейных систем) откликом на гармоническое воздействие является также гармоническое колебание. При этом связь между воздействием на систему и ее откликом является основной характеристикой системы, называемой коэффициентом передачи или передаточной функцией. С учетом предыдущего свойства это позволяет исследовать прохождение через систему колебаний произвольной формы.

Если колебания отличаются от гармонических тем, что их амплитуда убывает со временем (затухание колебаний) или в течение некоторого промежутка времени возрастает (самовозбуждение колебаний) и эти изменения происходят достаточно медленно, так что за один период колебаний их амплитуда не успевает сколько-нибудь заметно измениться, то эти колебания можно считать по форме близкими к гармоническим. Аналогичная ситуация имеет место и в случае модуляции колебаний, если период модуляции достаточно велик по сравнению с периодом модулируемых гармонических колебаний. Среди колебаний, по форме существенно отли­чающихся от гармонических, важное место занимают релаксационные колебания, характерным признаком которых является очень быстрое изменение колеблющейся величины (или ее производной) в течение некоторых долей периода и гораздо более медленное изме­нение этой величины в течение остальной части периода.

Причины возникновения колебаний могут быть различны. Наиболее распространенный случай – возникновение колебаний в результате нарушения устойчивости состоя­ния равновесия системы: при некоторых условиях система, выведенная из состояния равновесия и предоставленная самой себе, начинает совершать колебания около положения равновесия. Вследствие неизбежных потерь энергии колебания в системе постепенно затухают, и система возвращается к положению равновесия. Такие колебания называются собственными, или свободными. Собственные колебания являются не только самыми распространенными, но и самыми важными с точки зрения теории колебаний, т. к. условия возникновения и характер всех других типов колебаний, которые могут возникнуть в данной системе, в большинстве случаев существенно зависят от характера собственных колебаний, свойственных данной системе.

Колебания в системе могут возникнуть также в результате по­вторяющегося во времени внешнего воздействия. В пассивных (не содержащих источников энергии) системах такое воздействие вызывает вынужденные колебания. В нелинейных системах, содержащих источники энергии, могут без всякого внешнего воздействия, в частности без внеш­него толчка, возникать незатухающие колебания, которые называются автоколебаниями. В результате колебательного воздействия в нелинейных системах может происходить параметрическое возбуждение колебаний.

Современная теория колебаний в большой степени базируется на фундаментальных работах ряда выдающихся ученых. Дж.В. Стрэтт (лорд Рэлей) в своем труде «Теория звука» впервые изложил расчеты ряда колебательных процессов с последовательным учетом нелинейных свойств колебательных систем. В современной теории колебаний используются методы, развитые А. Пуанкаре в его работах по небесной механике; нашли применение и исследования А.М. Ляпунова по устойчивости движений и методы расчета колебательных движений, развитые А.Н. Крыловым. Очень большое значение для формирования теории колебаний имели основополагающие работы Б. Ван дер Поля по колебаниям в некоторых нелинейных системах и общие исследования колебательных процессов в нелинейных системах, проведенные А.А. Андроновым, развившим учение об автоколебаниях.

Примером простейшей механической колебательной системы является гармонический осциллятор – система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x в соответствии с законом Гука:

,                                                              (2)

где k - положительная константа, описывающая жесткость системы. Физическим примером такой системы является груз массы m, закрепленный на пружине жесткостью k (Рис. 1а). Для случая консервативной системы (при отсутствии трения) собственные колебания груза описываются дифференциальным уравнением:

  ,                                                           (3)

где   – собственная частота колебаний. Решение уравнения (3) имеет вид (1), что говорит о том, что колебания груза происходят по гармоническому закону около положения равновесия . При этом частота колебаний определяется параметрами самой системы (массой m  и жесткостью k), тогда как амплитуда и начальная фаза – начальными условиями, задающими начальное смещение и начальную скорость .

Уравнение (3) описывает собственные колебания также и других консервативных линейных колебательных систем с одной степенью свободы, в частности, математического маятника, совершающего малые колебания в поле силы тяжести (Рис. 1б), и электрического колебательного контура (Рис. 1в). Для маятника собственная частота определяется формулой  (l – длина маятника, g – ускорение свободного падения), а для колебательного контура –  (L – индуктивность катушки, С – емкость конденсатора).

Бесконечно длящийся процесс вида (1) в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются вследствие диссипации колебательной энергии. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями, которые характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды. В этом случае в уравнении (3) появляется диссипативный член:

,                                                         (4)

где  – коэффициент затухания. Для маятника с вязким трением, характеризуемым коэффициентом трения h, коэффициент затухания определяется соотношением , а для последовательного колебательного контура с сопротивлением R – соотношением .

Если выполняется условие , то решение уравнения (4) имеет вид:

,                                               (5)

где . Происходящий в системе процесс представляет собой колебания, амплитуда которых уменьшается по экспоненциальному закону  (Рис. 2, кривая 1). Колебания являются негармоническими, и говорить об их частоте в строгом смысле нельзя. Принято, однако, в качестве частоты собственных затухающих колебаний рассматривать величину . Если затухание мало (), то частота  близка к собственной частоте .

Затухание  называют критическим. Начиная с такого значения коэффициента затухания осциллятор будет совершать движение  по закону:

.                                                 (6)

Зависимость  в этом случае имеет вид, показанный на Рис. 2 (кривая 2). При сильном же затухании  () решение уравнения (4) выглядит следующим образом:

,                                         (7)

где . Будучи выведенной из равновесия, система возвращается в положение равновесия без осцилляций (Рис. 2, кривая 3).

Колебательный контур в режиме критического затухания находит применение в некоторых электроизмерительных приборах. Однако в большинстве радиофизических систем колебательные контуры используются в режиме малого затухания ().

В изолированных от внешних воздействий системах могут происходить только собственные колебания. В этом случае внешнее воздействие задает лишь начальную амплитуду и начальную фазу колебаний, тогда как частота колебаний  и коэффициент затухания  определяются только свойствами самой системы. В случае же вынужденных колебаний, когда система находится под действием внешней периодической силы, свойства возникающих колебаний зависят не только от параметров системы, но и от амплитуды и частоты внешней силы. Различают силовое внешнее воздействие, при котором не меняются параметры системы ( и ), и параметрическое воздействие, изменяющее только эти параметры. Силовое воздействие практически всегда сопровождается появлением вынужденных колебаний, тогда как при параметрическом воздействии колебания в системе могут и не возникать.

Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре LCR (Рис. 3) под действием гармонической ЭДС  , где p – частота вынуждающей силы. Вследствие линейности данной системы колебания тока и напряжений на всех элементах будут гармоническими с частотой р. При этом колебания напряжения на резисторе R будут происходить в фазе с колебаниями тока, тогда как колебания напряжения на катушке индуктивности L и конденсаторе C будут сдвинуты по фазе относительно колебаний тока на  и  соответственно. Амплитуда тока  определяется выражением:

.                                (8)

Зависимость  для разных значений коэффициента затухания  представлена на Рис. 4. Видно, что при приближении частоты внешнего воздействия р к собственной частоте колебательного контура  амплитуда тока возрастает (явление резонанса), достигая значения . В этой точке амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе становятся равными:

,                                                 (9)

т.е. в Q раз больше амплитуды ЭДС. Величина Q называется добротностью контура. По физическому смыслу она представляет собой  умноженное на  отношение запаса энергии в колебательной системе к потерям за период колебаний на резонансной частоте . Чем больше добротность контура, тем выше и ýже резонансный пик на частотной характеристике. Частотную избирательность контура принято характеризовать полосой пропускания , которая определяется как интервал частот, в пределах которого амплитуда тока или напряжения меняется не более чем в  раз (а мощность – в 2 раза). При высокой добротности () из (9) получается следующее соотношение: . Эта формула обычно используется при экспериментальном определении добротности колебательной системы. Колебательные контуры с высокой добротностью широко применяются в частотно-избирательных радиофизических цепях.

Многие колебательные системы не столь просты как гармонический осциллятор и могут обладать не одной, а несколькими и даже очень большим числом степеней свободы. В таких системах колебательные явления существенно сложнее, причем в системах уже с двумя степенями свободы проявляются многие эффекты, характерные и для более сложных систем.

Примерами систем с двумя степенями свободы могут быть два шарика, соединенные пружинами между собой и с неподвижными стенками (Рис. 5а) или два связанных колебательных контура (Рис. 5б). Чтобы описать состояние таких систем, нужно использовать две переменные:  и . В случае шариков, связанных пружинами,  и  соответствуют смещениям шариков из положения равновесия. Для двух колебательных контуров  и  представляют собой заряды на двух конденсаторах или токи в обоих контурах.

В общем случае собственные колебания системы с двумя степенями свободы могут иметь сложный вид, не похожий на простое гармоническое движение системы с одной степенью свободы. В линейных системах с двумя степенями свободы наиболее общее движение является суперпозицией двух независимых простых гармонических движений, происходящих одновременно и называемых нормальными, или собственными колебаниями, а также нормальными модами, или просто модами. Каждая мода имеет свою собственную характерную частоту  и , задаваемую параметрами системы. Для каждой моды система имеет характерную «конфигурацию» колебаний, или «форму» колебаний, определяемую отношением амплитуд изменений независимых переменных  и . Для каждой моды это отношение постоянно и не зависит от времени. Задавая определенные начальные условия (определенные значения смещений ,  и скоростей , ), можно возбудить в системе колебания только одной из мод. В этом случае система совершает простое гармоническое движение. Все части системы колеблются с одной частотой  или , одновременно проходя через положение равновесия. Например, если считать, что в системе, показанной на Рис. 5а, все пружины и все шарики одинаковы и при колебаниях шарики смещаются только в горизонтальной плоскости по линии, вдоль которой располагается система в состоянии покоя, то мода с меньшей частотой соответствует такому движению, когда . При таком движении системы шарики синхронно и синфазно колеблются по гармоническому закону с равными амплитудами. Расстояние между шариками не меняется. Мода с более высокой частотой соответствует такому движению, когда . В этом случае шарики колеблются в противофазе с равными амплитудами.

При внешнем периодическом воздействии на систему с двумя степенями свободы в ней возбуждаются вынужденные колебания. При этом поведение каждой моды похоже на поведение простого гармонического осциллятора, находящегося под действием внешней периодической силы. Движение каждого элемента колебательной системы является суперпозицией отдельных мод, совершающих вынужденные колебания. При медленном изменении частоты внешнего воздействия р в системе наблюдается резонанс всякий раз, когда частота воздействия находится вблизи частоты одной из мод  или . Поэтому резонансная кривая системы с двумя степенями свободы, обладающей малыми потерями энергии, оказывается двугорбой, причем ее максимумы соответствуют частотам нормальных мод. Если частоты нормальных мод достаточно близки или потери в системе достаточно большие, то эти максимумы могут слиться в один широкий пик.

В общем случае при произвольной частоте внешнего воздействия р амплитуда колебаний каждого движущегося элемента системы равна сумме вкладов от каждой моды. При этом вклад каждой моды зависит от того, каким образом к системе приложена внешняя сила. В частности, внешняя сила может быть приложена таким образом, что вклад одной из мод будет равен нулю. В этом случае внешняя сила возбуждает колебания только второй моды, и вся система ведет себя как простой гармонический осциллятор.

2. Механические колебания в дискретных системах

 Учитывая, что все тела состоят из молекул, всякое тело нужно рассматри­вать как дискретную систему, состоящую из очень большого числа отдельных малых тел (материальных точек), действующих друг на друга с силами, имеющими в простейшем случае упругий характер. Поскольку материальная точка обладает тремя сте­пенями свободы, такая дискретная система обладает 3 степенями свободы, где N – число молекул, из которых построено тело. Хотя число N для макроскопических тел очень велико (порядка 10²⁰ и более для тел не очень малых размеров), но все же принципиально всякое реальное тело обладает конечным числом степе­ней свободы, а значит, и нормальных частот.

Простейшей моделью такого тела может служить система, состоящая из   () одинаковых масс т, связанных одинаковыми пружинками с коэффициентом упругости k (Рис. 6). В дальнейшем ограничимся рассмотрением колебаний этой системы для случая, когда крайние массы закреплены. Будем рассматривать только такие колебания, при которых массы смещаются вдоль линии, на которой лежат все элементы системы в состоянии покоя, и направим вдоль этой линии ось х. Для описания таких движений достаточно использовать  координат  (i = 1, 2, …, n). Следовательно, эта система имеет  степеней свободы.

Так же как при рассмотрении системы с двумя степенями свободы, собственные колебания рассматриваемой системы в общем случае можно представить как суперпозицию нормальных колебаний или мод, число которых равно числу степеней свободы. Каждое нормальное колебание происходит с собственной или нормальной частотой . Амплитуды и фазы нормальных колебаний определяются начальными условиями. В частности, можно выбрать такие начальные условия, при которых в системе будет возбуждаться только одно нормальное колебание. При этом все шарики системы будут колебаться с одной частотой и одновременно проходить через состояние равновесия. Соотношение амплитуд колебаний всех масс в каждом нормальном колебании постоянно, определяется параметрами системы, не зависит от выбора начальных условий и определяет форму соответствующего нормального колебания.

При математическом анализе движений в такой системе для каждой из тех масс, которые могут двигаться, исходя из второго закона Ньютона, составляют систему уравнений движения:

,     (i = 1, 2, …, n)                             (10)

где - смещение i-й массы вдоль оси х. Здесь предполагается, что крайние массы имеют номера 0 и . Эти массы закреплены, поэтому их смещения должны удовлетворять граничным условиям:. Решение уравнений (10) ищут в виде:

,                                           (11)

  где    – номер нормального колебания,

 –                                             (12)

частота -го нормального колебания. Амплитуды  и фазы  определяются из начальных условий. Выражение (11) определяет смещение -й массы в -ом нормальном колебании. Видно, что каждая масса колеблется по гармоническому закону с амплитудой , определяемой соотношением:

 .                                                     (13)

Выражение (13) позволяет найти отношение амплитуд колебаний всех масс в -ом нормальном колебании и, следовательно, определяет форму этого нормального колебания. Общее решение уравнений движения системы получается сложением всех нормальных колебаний, то есть суммированием выражений (11) по .

            Рассмотренная дискретная система может служить моделью одномерной кристаллической решетки, состоящей из одинаковых атомов. Реальные тела состоят из очень большого числа атомов и, следовательно, являются системами с огромным числом степеней свободы и соответственно с очень большим числом мод. На практике имеют дело с небольшим числом самых низкочастотных мод (или, в крайнем случае, с несколькими десятками или тысячами мод). Длина волны этих мод много больше расстояния между соседними частицами среды. При исследовании таких колебаний можно пренебречь молекулярным строением вещества и рассматривать его как сплошную, непрерывную среду.

3. Колебания в сплошных системах

Можно проследить непрерывный переход от колебаний дискретных систем с конечным числом элементов к колебаниям  в непрерывных системах, используя изложенные выше сведения о колебаниях в цепочке из сосредоточенных элементов. Предположим, что в колебательной системе, показанной на Рис. 6, количество  масс и пружин бесконечно увеличивается, а сами массы и пружины соответственно уменьшаются. В результате цепочка сосредоточенных элементов, изображенная на Рис. 6,  постепенно превращается в сплошной однородный тонкий упругий стержень с закрепленными концами.  При увеличении  соседние элементы дискретной системы сближаются и их движение в процессе колебаний становится почти одинаковым. Поэтому в пределе при  смещение движущихся элементов в окрестности точки  может быть описано непрерывной функцией координат и времени . Эта функция заменит используемые при рассмотрении колебаний дискретной системы функции , описывающие движение отдельных масс.

Выражение для функции  можно получить из (11) с помощью предельного перехода, полагая . Если расстояния между двумя соседними массами цепочки из дискретных элементов составляет , а длина цепочки равна , то при  предельном переходе будем иметь:

,   ,   ,   ,   ,   ,   .     (14)

Число степеней свободы системы при таком переходе стремится к бесконечности, а соотношения (11) и (12) принимают соответственно вид:

               ,                                             (15)

                  .                                                                  (16)

Здесь − скорость продольных упругих волн (скорость звука) в стержне, а , как и в выражении (11) – номер нормального колебания.

Из формулы (15) следует, что если в однородном сплошном стержне возбуждается одна нормальная мода, то амплитуда колебаний различных участков стержня зависит от их координаты, но не зависит от времени. Такие колебания называются стоячими волнами. Следовательно, моды непрерывных колебательных систем являются стоячими волнами. Непрерывная система обладает бесконечно большим числом степеней свободы и соответственно бесконечно большим числом мод. Общее движение системы может быть описано как суперпозиция всех ее мод, в данном случае – как суперпозиция бесконечного числа стоячих волн, частоты которых определяются выражением (16), а амплитуды и начальные фазы –  начальными условиями.

Как видно из (16), частоты нормальных мод однородного стержня с закреплёнными концами кратны частоте самой низкочастотной моды, соответствующей . Из выражения (15) следует, что при возбуждении этой моды наибольшую амплитуду колебаний имеют участки стержня, расположенные в центре. Те участки стоячих волн, где амплитуда колебаний максимальна, называются пучностями. С увеличением номера  моды пропорционально растет ее частота и число пучностей соответствующей стоячей волны. Форма стоячих волн, а также их частоты зависят от вида граничных условий. Например, если оба конца стержня свободны, то нормальные частоты будут такими же, как у стержня с закрепленными концами,  но форма стоячих волн изменится. Они будут описываться выражением:

                                .                                     (17)

См. также

Акустика

Радиофизика

Оптика

Рекомендуемая литература

В.В. Мигулин, В.И. Медведев, Е.Р. Мустель, В.Н. Парыгин. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1988.

С.П. Стрелков. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1964.

А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.

М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков. Введение в теорию колебаний и волн. М., Наука, 1984.

Т. Хаяси. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968.

О. Блакьер. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, 1969.

Л.И. Мандельштам. Лекции по теории колебаний. Собр. соч., т.4, М.: АН СССР, 1950.

Г.С. Горелик. Колебания и волны. М: ГТТМ, Физматгиз, 1950.

Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: ГТТИ, 1955.

Дж.В. Стретт (Лорд Рэлей). Теория звука, т.1. М., 1955.

К.Ф. Теодорчик. Автоколебательные системы. М.: ГТТИ, 1952.