Роль вычислительного эксперимента в создании и верификации математической модели физического явления

Специфика вычислительного эксперимента состоит в том, что он может дать информацию о явлении только в том случае, если его математическая модель  содержит адекватное математическое описание всех  элементарных физических процессов, из которых состоит  явление. Иногда приходится сталкиваться с мнением, что после того, как все составляющие физическое явление процессы поняты и найдено их правильное математическое описание, оставшиеся трудности в описании самого явления носят чисто технический характер, и их преодоление не можёт внести ничего принципиально нового в наши знания о самом явлении.

История развития гидродинамики и недавняя история развития физики плазмы показывают, что от знания математического описания всех элементарных  физических процессов, составляющих явление, до знания самого явления часто бывает очень далеко. В этой  ситуации вычислительный эксперимент может помочь достичь того, что А. Пуанкаре считал главной целью математической физики. (А. Пуанкаре писал: «Цель математической физики заключается не только в том, чтобы облегчить  физику вычисление некоторых постоянных или интеграцию некоторых дифференциальных уравнений.

Ее главная цель состоит в том, чтобы знакомить физика со скрытой  гармонией вещей, показывая их ему под новым углом зрения».) Приведем один пример. Свыше двадцати  лет назад при изучении численными методами движения плотной  плазмы в магнитном поле был обнаружен новый физический эффект Т-слоя: при определенных условиях в плазме  образуется самоподдерживающаяся область повышенной  температуры, которая существует конечное время и в которой сосредоточены электрические токи и джоулев нагрев. С  помощью вычислительного эксперимента были найдены условия образования Т-слоя и исследованы возможности его возникновения в движущейся плазме. Эта работа была оценена как открытие нового физического эффекта. Через 5 лет  Т-слой был обнаружен в физических экспериментах, проведенных в различных научных учреждениях страны.

Приведенный выше пример показывает, что  вычислительный эксперимент стал новым мощным средством  теоретических исследований в физике. Иногда (например, в астрофизике при исследовании ранних стадий развития  Вселенной или при изучении внутреннего строения звезд)  вычислительный эксперимент является единственным   средством получения количественной информации о явлении.

Большие возможности вычислительного эксперимента  были продемонстрированы при решении таких крупнейших научно-технических программ, как овладение ядерной энергией и освоение космического пространства. В  процессе работы над этими программами в начале 50-х годов, когда были созданы и впервые применены ЭВМ, начал складываться новый стиль исследований, который уже к середине 60-х годов оформился в вычислительный  эксперимент.

Другой аспект проблемы, связанной с влиянием численного эксперимента на построение математической модели физического явления, лучше всего иллюстрирует «взрывное» увеличение числа примеров точно решаемых нелинейных уравнений. Раньше редко брались за решение  нелинейных задач и стремились строить «линеаризованные» модели. Теперь исследователь знает, что задачу всегда  можно будет решить численно, поэтому (и конечно, потому, что другого выхода нет — часто только нелинейная модель с нужной точностью описывает явление) увеличилось  внимание к нелинейным моделям: ими стало заниматься  гораздо больше людей, появился опыт исследования нелинейных задач в численном эксперименте, и это практически одновременно привело к созданию новых аналитических методов решения нелинейных задач в разных научных центрах.

Полученные аналитические решения позволили  обнаружить ряд новых эффектов в нелинейных волновых  процессах (взаимодействие солитонов, бесконечное число  законов сохранения и т.д.). Часть этих явлений сначала была обнаружена в численных экспериментах, и это  помогло исследователям в решении чисто аналитических  вопросов. Приведем еще пример. Одним из интереснейших факторов, обнаруженных в  теории нелинейных уравнений с помощью комбинации  численных и аналитических методов, является открытие  механизма образования структур в нелинейной диссипативной среде, если в этой среде происходят процессы горения, диффузии и т. д. Такие процессы описываются дифференциальным  уравнением вида

В том случае, если k и q не зависят от и, решение этого уравнения описывает «растекание» тепла. Если же коэффициенты k и q зависят от и, то характер решения может быть существенно иным. Недавно было  открыто, что при некоторых k и q уравнение может иметь локализованные в ограниченной области пространства решения, которые либо стабилизируются при t стремящемся к бесконечности, либо неограниченно растут, причем может быть несколько неперекрывающихся областей локализации. Ряд общих закономерностей образования таких  структур обнаружен с помощью комбинации аналитической техники и вычислительного эксперимента для простейших модельных уравнений, а затем с помощью специально  разработанных методов перенесен на общие уравнения  параболического типа.