Зарегистрироваться

Модули

Категории Алгебра | Под редакцией сообщества: Математика

Обобщением линейного пространства является понятие левого (правого) модуля над ассоциативным кольцом с единицей, когда вместо умножения на числа определено умножение на элементы кольца слева (справа). Так, если в векторном пространстве задан линейный оператор, то пространство превращается в модуль над кольцом многочленов от одной переменной. Любое векторное пространство размерности n является модулем над кольцом квадратных матриц размера n. Кольцо многочленов является модулем над алгеброй Вейля. Любая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел.
Каждый модуль является абелевой группой относительно сложения, причем операция умножения на элемент кольца задает эндоморфизм этой абелевой группы. Подмодулем называется подгруппа в модуле по сложению, замкнутая относительно умножения на элементы кольца. Каждый подмодуль снова является модулем.
Если в модуле M задан подмодуль N, то факторгруппа M/N обладает естественной структурой модуля над тем же кольцом.
Отображение модулей  f:M→M’ над одним кольцом называется гомоморфизмом модулей, если f(ax+by)=af(x)+bf(y) для всех x,y из M и для любых a,b из кольца. Ядром Kerf гомоморфизма f называется полный прообраз в M нулевого элемента из M’. Справедлива теорема о гомоморфизмах: образ f(M) является подмодулем в M’, изоморфным фактормодулю M/kerf.
Важной операцией на модулях является прямая сумма модулей. Имеются важные результаты в теории колец и модулей, характеризующие строение колец по категории всех модулей над этим кольцом.

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.