Векторные (линейные) пространства

Векторным или линейным пространством L над полем называется непустое множество, в котором заданы операции сложения и умножения на элементы, причем выполнены следующие аксиомы:

x+y=y+x,  x+(y+z)=(x+y)+z,  α(x+y)= αx+αy,  (α+β)x= αx+ βx, (αβ)x=α(βx), 1x=x

для любых x,y,z из L и любых элементов α,β из поля. Кроме того, в L  существует нулевой элемент 0, обладающий тем  свойством, что 0+x=x для любого элемента x из L. При этом αx=0 тогда и только тогда, когда либо x=0, либо α – нулевой элемент поля.  Элементы векторного пространства называются векторами.

Базисом линейного пространства называется максимальная система независимых векторов. Независимость означает, что если сумма любой конечной подсистемы этих векторов с некоторыми коэффициентам и из поля равна нулю, то все коэффициенты равны нулю. Размерностью линейного пространства называется  число векторов в базисе. Размерность не зависит от выбора базиса.

Линейная алгебра изучает геометрические и алгебраические свойства линейных пространств над полем. В рамках линейных пространств дается  геометрическая интерпретация  решений систем алгебраических уравнений. В частности, все решения совместной системы линейных уравнений образуют плоскости и любая плоскость размерности d в n-мерном пространстве задается системой из n-d  линейных уравнений  

Если в вещественном (комплексном) пространстве выделена билинейная (полуторалинейная) функция - скалярное произведение - с определенными свойствами, то пространство называется евклидовым (эрмитовым).   Это позволяет строить геометрию в евклидовых и эрмитовых пространствах, определяя длины векторов, углы между ненулевыми векторами.

При изучении линейных пространств важную роль играют преобразования пространств, сохраняющие суммы векторов и умножения на элементы поля. Эти преобразования  называются линейными операторами. Ненулевой вектор x  называется  собственным с собственным значением α для оператора A, если A(x) = αx. Здесь α – элемент поля.

Симметрический оператор евклидовых и эрмитовых сохраняет скалярные произведенеия. Симметрические линейные операторы в квантовой механике  соответствуют физическим величинам. Значения этой величины — собственные значения оператора.

Теория симметрических операторов позволяет классифицировать поверхности второго порядка (квадрики) в евклидовных пространствах.