Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия – раздел математики, объединяющий абстрактную алгебру с геометрией. В настоящее время алгебраическая геометрия занимает центральное место в современной математике. Ее технический аппарат использует связи с различными областями математики, такими как алгебра (в особенности коммутативная и гомологическая), дифференциальная геометрия, комплексный анализ, топология, теория чисел и математическая физика.

Главный предмет изучения алгебраической геометрии – алгебраические многообразия, множества решений систем уравнений, задаваемых многочленами. Можно считать, что алгебраическая геометрия возникла вместе с возникновением понятия координат, которые позволили описывать геометрические объекты в терминах уравнений.

Известно, что многочлен от одной переменной имеет лишь конечное корней. Более того, число комплексных корней, «правильным образом» подсчитанное, совпадает со степенью этого многочлена (основная теорема алгебры). Если же мы рассмотрим комплексный многочлен f(x,y) от двух переменных, то ситуация становится более сложной – множество точек C={(x,y)} аффинной плоскости, в которых многочлен f(x,y) обращается в нуль, как правило бесконечно. Однако можно рассматривать это множество как единый геометрический объект, называемый плоской аффинной алгебраической кривой. Кривая C={f(x,y)=0} называется неособой (или гладкой), если градиент (¶f/¶x,¶f/¶y) отличен от нуля в каждой точке . Многочлены естественным образом классифицируются по их степени. Если f(x,y) – многочлен степени 1 (линейный многочлен), то кривая, заданная уравнением f(x,y)=0, является обычной аффинной прямой. Если f(x,y) – многочлен степени 2, то кривая f(x,y)=0 называется коникой. Простейшим примером является окружность . Неособые кривые степени 3 называются эллиптическими кривыми. Они могут быть записаны в форме Вейерштрасса . Обобщением понятия плоской алгебраической кривой является аффинное алгебраическое многообразие – множество точек  n-мерного аффинного пространства, в которых обращаются в нуль некоторый набор многочленов . Алгебраические отображения между алгебраическими кривыми называются морфизмами. Морфизм, обратное отображение к которому существует и также является морфизмом называется изоморфизмом. Каждому аффинному алгебраическому многообразию можно естественным образом сопоставить идеал в кольце многочленов от n переменных, порожденный многочленами . Это устанавливает взаимно однозначное соответствие между аффинными подмногообразиями n-мерного аффинного пространства и идеалами в соответствующем кольце. Элементы факторкольца по этому идеалу являются алгебраическими (или, иначе говоря, регулярными) функциями на исходном многообразии. Все регулярные функции образуют (коммутативное) кольцо – кольцо регулярных функций. Обычно в литературе алгебраическое многообразие предполагается неприводимым, т.е. не представимым в виде нетривиального объединения подмногообразий. Таким многообразиям соответствуют простые идеалы в кольце многочленов. На неприводимом аффинном многообразии всевозможные отношения регулярных функций (вторая из которых – ненулевая) образуют поле, которое называется полем рациональных функций. Аналогично аффинному многообразию, проективное многообразие определяется как множество точек проективного пространства, в которых обращаются в нуль некоторый набор однородных многочленов. Проективное многообразие обладает аффинным покрытием – представлением в виде объединения аффинных многообразий. Рассмотрение проективных многообразий более естественно со многих точек зрения. Например, обобщение классической теоремы Безу утверждает, что число точек пересечения двух проективных кривых, подсчитанных с учетом кратностей, равно произведению степеней этих кривых. На каждом (аффинном или проективном) многообразии имеется топология Зарисского – топология, замкнутыми множествами которой объявляются (возможно приводимые) подмногообразия. Например, на алгебраической кривой нетривиальными замкнутыми в топологии Зарисского подмножествами являются конечные множества. Размерность многообразия – длина максимальной цепочки вложенных друг в друга неприводимых собственных подмногообразий. Таким образом, алгебраические кривые – это многообразия размерности 1, а алгебраические поверхности – многообразия размерности 2. Размерность многообразия совпадает со степенью трансцендентности его поля рациональных функций. Одной из основных, классических проблем алгебраической геометрии является проблема классификации алгебраических многообразий. При этом многообразия классифицируются с точностью до изоморфизмов или с точностью до бирациональных изоморфизмов. Два алгебраических многообразия называются бирационально изоморфными (или бирационально эквивалентными), если они обладают непустыми открытыми в топологии Зарисского подмножествами, которые изоморфны между собой. Поля рациональных функций бирационально эквивалентных многообразий изоморфны. Многообразие называется рациональным, если оно бирационально эквивалентно аффинному пространству. Например, стереографическая проекция из точки (1,0) коники  устанавливает бирациональный изоморфизм на прямую y=0, (рациональную параметризацию) следовательно, эта коника рациональна. Напротив неособая эллиптическая кривая  не является рациональной. Понятие рациональности, возникшее почти одновременно с интегральным исчислением играет важную роль при классификации интегралов от алгебраических функций: если кривая f(x,y)=0 рациональна, то с помощью рациональной параметризации любой интеграл вида  сводится к интегралу от рациональной функции, который в свою очередь, сводится к табличным интегралам. Например, это верно и легко проделать для интеграла . Напротив, интеграл вида  не может быть сведен к интегралу от рациональной функции, поскольку  – уравнение эллиптической кривой.

Другим источником алгебраической геометрии является комплексный анализ. Желание придать области определения многозначной алгебраической функции хороший геометрический смысл приводит к понятию римановой поверхности. Например, функция ⁿ√z многозначна на комплексной плоскости C, но может быть корректно определена на некотором n-листном накрытии C ⁿ ®C. С современной точки зрения, риманова поверхность – топологическое пространство, каждая достаточно малая окрестность которого гомеоморфна открытому диску комплексной плоскости и функции перехода, индуцированные этими гомеоморфизмами, являются аналитическими. Теорема о неявной функции показывает, что каждая неособая алгебраическая кривая, определенная над полем комплексных чисел, является римановой поверхностью. Аналогично вводится более общее понятие комплексного многообразия и показывается, что любое неособое алгебраическое многообразие, определённое над полем комплексных чисел, является комплексным многообразием. Обратно, компактная риманова поверхность является проективной алгебраической кривой, но в общем случае обратное утверждение не верно. Например, фактор  по полной решетке  является компактным комплексным многообразием, называемым комплексным тором. Однако, при n>1 комплексный тор является алгебраическим многообразием только при выполнении специальных условий – соотношений Римана и в этом случае он называется абелевым многообразием. Одномерные абелевы многообразия – эллиптические кривые.

Считается, что комплексная алгебраическая геометрия обязана своим появлением нуждам теории абелевых интегралов, в которой были получены замечательные результаты, касающиеся алгебраических кривых и имеющие чисто геометрический смысл. Например, используя интегралы первого рода, К. Шварц доказал, что кривая, допускающая непрерывную группу бирациональных преобразований в себя, или бирационально эквивалентна прямой или эллиптической кривой. Еще одним направлением алгебраической геометрии является изучение классифицирующих пространств или пространств модулей. Например, поскольку любая неособая проективная плоская кривая степени 2 (проективная коника) изоморфна проективной прямой то эти кривые не имеют модулей. Напротив, эллиптические кривые  классифицируются (говоря точнее, параметризуются) своим j-инвариантом  принимающим все возможные числовые значения. Таким образом, пространство модулей эллиптических кривых – аффинная прямая.

Современный подход к алгебраической геометрии основан на обобщении классико-алгебраического подхода. В 50-х годах прошлого века А. Гротендик предложил совершенно новое понятие схемы. Грубо говоря, аффинная схема – это множество простых идеалов некоторого кольца, снабжённое определенной топологией. Если за кольцо взять кольцо регулярных функций аффинного алгебраического многообразия, то полученная аффинная схема совпадет с этим исходным многообразием. Схема (необязательно аффинная) – это объект, каждая точка которого обладает окрестностью, являющейся аффинной схемой. Каждая схема снабжается дополнительной структурой – пучком колец регулярных функций. Современная алгебраическая геометрия активно использует методы гомологической алгебры, в частности, теорию когомологий.

Понятие схемы революционно перевернуло взгляд на алгебраическую геометрию. Оказалось, что возможно изучение однотипными методами как многообразий над полем комплексных чисел, так и многообразий определенных над полем рациональных, кольцом целых чисел и конечными полями. Это привело к существенному прорыву в алгебраической теории чисел. Например, доказательство А. Уайлсом великой теоремы Ферма использует исключительно методы алгебраической геометрии. Более точно, раздел алгебраической геометрии, связанный с теорией чисел, носит название арифметической алгебраической геометрии. Другой замечательный пример применения схемного подхода – доказательство П. Делинем гипотез А. Вейля, основанное на перенесении комплексно-аналитических методов алгебраической геометрии в геометрию над конечными полями.

Дальнейшее развитие и обобщение схемного подхода и привлечение в алгебраическую геометрию методов теории категорий привело к созданию производной алгебраической геометрии, основным объектом изучения которой является производные категории когерентных пучков на алгебраических многообразиях.

Одним из направлений алгебраической геометрии является также вещественная алгебраическая геометрия, основными объектами которой являются алгебраические многообразия, определенные над полем действительных чисел.

Немного истории.

Классический период алгебраической геометрии относится ко второй половине XIX века и представлен, главным образом, итальянской школой от Кремоны до Энрикеса. В 30 и 40-ых годах XX века, идеи построения алгебраической геометрии на основе коммутативной алгебры, интенсивно развивавшейся в то время, восходят к О. Зарисскому и А. Вейлю. Развитие современной алгебраической геометрии во многом связано с работами французского математика А. Гротендика, который построил её на языке теории схем. Основателем советской школы алгебраической геометрии является И. Р. Шафаревич.

Рекомендуемая литература

Гриффитс Ф., Харрис Д. Принципы алгебраической геометрии. "— Москва: Мир, 1982. "— Т. 1, 2.

Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. "— II изд."— Москва: Наука, 1988. "— Т. I, II.

Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. "— Москва: Мир, 1981.

Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия. Комплексные проективные многообразия. "— Москва: Мир, 1979. "— Т. 1.

Рид М. Алгебраическая геометрия для всех. Современная математика. Вводные курсы. "— Москва: Мир, 1991.

Grothendieck A. Éléments de géométrie algébrique. // Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. "— 1960–1967.

Шокуров В. В. Римановы поверхности и алгебраические кривые // Алгебраическая геометрия-1. "— ВИНИТИ, 1988. "— Т. 23. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. "— С. 5–171.

Шокуров В. В. Алгебраические кривые и их якобианы // Алгебраическая геометрия-3. "— ВИНИТИ, 1989. "— Т. 36. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. "— С. 233–273.

Исковских В. А., Шафаревич И. Р. Алгебраические поверхности // Алгебраическая геометрия-2. "— 1989. "— Т. 35. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. "— С. 131–263.

Данилов В. И. Алгебраические многообразия и схемы // Алгебраическая геометрия-1. "— ВИНИТИ, 1988. "— Т. 23. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. "— С. 172–302.

Данилов В. И. Когомологии алгебраических многообразий // Алгебраическая геометрия-2. "— ВИНИТИ, 1989. "— Т. 35. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления,. "— С. 5–130.