Зарегистрироваться

Элементарная геометрия

Категории Элементарная математика | Под редакцией сообщества: Математика

Элементарная геометрия (планиметрия и стереометрия) — раздел элементарной математики, изучающий свойства плоских и объемных фигур. 

Потребность в развитии и изучении геометрии возникла у людей задолго до нашей эры, в связи с измерением расстояний, площадей и объемов, необходимых для строительства, а несколько позднее — и для астрономии.

Элементарную геометрию обычно называют евклидовой из-за того, что первоначальное и систематическое, хотя и не достаточно строгое, её изложение было дано в «Началах» Евклида. В них была сделана попытка построить полную систему аксиом так, чтобы все утверждения геометрии следовали из этих аксиом исключительно логическим путем, без ссылки на наглядные соображения. Древнегреческая система изложения геометрии на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения математической теории.

Особого разговора заслуживает евклидова аксиома параллельности — так называемый V постулат, который в формулировке Д. Прокла (V век) звучит так: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её».

С самого начала эта аксиома казалась не столь очевидной, как остальные аксиомы Евклида. Поэтому многие математики, от К. Птолемея (II век) до А.М. Лежандра (1823 г.), пытались либо улучшить ее, заменив другой, действительно очевидной, либо вообще исключить из списка, логически выведя ее из остальных аксиом того же списка. Было предложено множество доказательств этой аксиомы, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался порочный круг. В XVIII веке отдельные математики (Дж. Саккери, И.Г. Ламберт) интуитивно признавали, что при доказательстве утверждения аксиомы от противного они не могут прийти к противоречию.

Только в 1829 г. Н.И. Лобачевский впервые ясно заявил, что евклидова аксиома параллельности не может быть доказана на основе других его посылок евклидовой геометрии, а противоположная аксиома, согласно которой «через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её», позволяет построить геометрию столь же содержательную и также свободную от противоречий.

Непротиворечивость предложенной Н.И. Лобачевским геометрии была доказана лишь после его смерти, с появлением модели Ф.Х. Клейна в 1871 г., а саму геометрию Лобачевского вряд ли можно отнести к элементарной.

Аккуратное исследование системы аксиом Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту. Первая же совершенно строгая аксиоматика элементарной геометрии была дана Д. Гильбертом лишь в 1899 г.

Элементарная геометрия, преподаваемая в средней общеобразовательной школе, в основном изучает те свойства фигур, которые не меняются при движениях (сохраняющих расстояния) или при преобразованиях подобия. При этом обычно:

1) сначала изучают планиметрию — геометрию на плоскости, основными фигурами которой являются точка, прямая и луч, параллельные и пересекающиеся прямые, плоскость и полуплоскость, угол, отрезок, ломаная, треугольник и многоугольник, окружность и т.д.;

2) затем переходят к стереометрии — пространственной геометрии, в которой изучаются еще и следующие фигуры: пространство и полупространство, скрещивающиеся прямые, параллельные и пересекающиеся плоскости или прямые и плоскости, двугранный и многогранный углы, тетраэдр и многогранник, цилиндр, конус, сфера и др.

Существуют попытки излагать обе эти части вместе, изучая плоские и пространственные фигуры одновременно.

Вносимые в школьный курс элементы аналитической геометрии принципиально меняют отношение геометрии к остальной математике: они дают универсальный способ перевода вопросов геометрии на язык алгебры, и наоборот.

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.