Числовые системы

Числовая система — множество чисел, которое включает в себя множество натуральных чисел и замкнуто относительно операций сложения, умножения и, возможно, некоторых других.

Обычно числовая система предполагает и определенный способ записи чисел (скажем, с помощью арабских цифр 0,1,…,9) или даже несколько возможных ее вариантов для одного числа.

Кроме того, числовая система может быть наделена какой-либо дополнительной структурой, например:

а)    частичной или полной упорядоченностью (понятиями «больше» или «меньше»),

б)   метрикой (расстоянием между числами),

в)   нормой (модулем числа).

1. Простейшую числовую систему представляют собой натуральные числа. Они возникают в процессе счета — и в первую очередь, благодаря возможности перехода от любого натурального числа к следующему. Наиболее строго эту числовую систему, применявшуюся с незапамятных времен, описал Дж. Пеано, причем лишь в XIX веке.

Натуральные числа можно складывать друг с другом, умножать друг на друга, вычитать из большего меньшее, делить с остатком, а иногда и нацело. При этом операции вычитания и деления (нацело) определяются как обратные к сложению и умножению, т.е. позволяющие по известным значениям a и b найти значение x из уравнения    или    соответственно.

Пополнение натуральных чисел числом ноль, на которое, в отличие от всех остальных натуральных чисел, делить нельзя, даже с остатком, — в принципе возможно, но малосодержательно. Тем не менее, иногда число ноль, по определению, считают тоже натуральным.

2. Далее, с одной стороны, если к натуральным числам добавить дроби (возникающие естественным образом при дележе чего-либо на равные части), то получится множество положительных рациональных чисел. В этой числовой системе можно делить любое число на любое ненулевое (конечно, деление с остатком здесь уже не используется). 

С другой стороны, из тех же натуральных чисел путем добавления к ним нуля и отрицательных целых чисел получаются целые числа. Эта числовая система замечательна тем, что в ней можно вычитать любое число из любого. Кстати, в отличие от дробей, отрицательные числа появились довольно поздно, лишь в средние века: они потребовали от математиков несколько большей абстракции и ознаменовали собой зарождение алгебры.

Если же свести оба упомянутых расширения воедино, то получится множество всех вообще рациональных чисел (и положительных, и неположительных). Оно представляет собой минимальную числовую систему, в которой возможны уже все четыре арифметические операции.

3. Долгое время считалось, что других (кроме рациональных) чисел в природе нет: в них просто не было потребности. Однако после открытия теоремы Пифагора математики пришли к парадоксальному выводу: гипотенуза прямоугольного треугольника с единичными катетами не имеет длины, поскольку ее квадрат должен быть равен 2, а такого рационального числа не существует (об этом древним грекам было уже известно).

Таким образом, первое появление иррациональных чисел связано с операцией возведения в натуральную степень. Точнее, с обратной к ней, уже не арифметической, а алгебраической операцией: извлечением корня натуральной степени a из натурального числа b, т.е. нахождением значения x из уравнения  . Наименьшая числовая система, содержащая все такие корни, — это алгебраические числа.

Кстати, рациональных чисел не хватает и для выполнения другой операции, обратной к возведению в степень, — взятию логарифма по натуральному основанию  от натурального числа b, т.е. нахождением значения x из уравнения  . Например, логарифм числа 3 по основанию 2 иррационален, поскольку число 2 ни в какой рациональной степени не дает 3.

4. Геометрическая интерпретация чисел, как длин различных отрезков, неизбежно приводит к понятию числовой прямой. Если на прямой заранее задать начало отсчета, направление и единицу длины, то между всеми ее точками и всеми числами (не только положительными) можно установить взаимно однозначное соответствие. В итоге точки прямой будут отождествлены с соответствующими им числами.

Полученная числовая система задает действительные, или вещественные, числа. Числовая прямая содержит все алгебраические числа, но, как оказалось, не только их. В 1873 г. Г. Кантор доказал, что на любом интервале числовой прямой имеется бесконечно много других, так называемых трансцендентных чисел. В том же году Ш. Эрмит привел конкретный пример трансцендентного числа, каковым является число е, а в 1882 г. была доказана также и трансцендентность числа π.

В процессе создания строгой теории действительных чисел математиками (в частности, К. Вейерштрассом, Р. Дедекиндом, Г. Кантором) было, наконец, выявлено свойство полноты числовой прямой.

5. Начиная с XVI века, задолго до построения строгой теории действительных чисел, в трудах Дж. Кардано, А. де Муавра, Л. Эйлера и многих других математиков было начато построение новой числовой системы, в которой возможно было извлечение квадратного корня из отрицательных чисел.

Появились комплексные числа, для наглядного изображения которых потребовалось перейти с числовой прямой в числовую комплексную плоскость. При этом произошла потеря линейной упорядоченности чисел. Зато добавилась новая операция над ними — комплексное сопряжение, нашлась изящная геометрическая интерпретация их произведения, а также проявилась их природная связь с преобразованиями плоскости, тригонометрией и обнаружился целый ряд совершенно замечательных функциональных свойств.

Дальнейшие попытки расширения полученной числовой системы оказались не столь успешными. Они привели У. Гамильтона к созданию в 1843 г. теории кватернионов, правда, с вынужденной потерей свойства коммутативности (перестановочности) произведения.