Континуум-гипотеза

Континуум-гипотеза — это следующее утверждение: любое бесконечное подмножество континуума является либо счетным, либо континуальным. Здесь под континуумом (или континуальным множеством) понимается множество, равномощное множеству всех действительных чисел. Счетным же называется множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Данная гипотеза впервые была сформулирована в 1877 году Георгом Кантором, который впоследствии вместе с другими выдающимися математиками XIX века безуспешно пытался её доказать. Она известна также как первая проблема Гильберта — одна из 23 проблем, сформулированных Давидом Гильбертом в 1900 году на международном математическом конгрессе.

В 1940 году Курт Гёдель доказал, что континуум-гипотеза не может быть опровергнута (то есть доказано её отрицание) в аксиоматической теории множеств Цермело–Френкеля ZFC (с аксиомой выбора). Более точно, он доказал, что если ZFC непротиворечива, то расширение ZFC континуум-гипотезой тоже непротиворечиво.

В 1963 году Пол Коэн, используя изобретённый им метод форсинга, доказал, что и сама континуум-гипотеза недоказуема в ZFC (тоже в предположении непротиворечивости теории ZFC). Таким образом, континуум-гипотеза оказалась независимой от теории множеств ZFC.

Существует также обобщённая континуум-гипотеза, утверждающая: для любого бесконечного множества X не существует множества, мощность которого больше мощности множества X, но меньше мощности множества всех подмножеств множества X. В упомянутых работах Гёделя и Коэна было доказано, что и эта гипотеза тоже независима от теории множеств ZFC.