Оптимальное управление

Оптимальное управление — один из разделов теории экстремальных задач (или теории экстремума), теории в которой разрабатываются методы исследования и решения экстремальных задач, т. е. задач на максимум и минимум[1]. Оптимальное управление ориентировано на решение прикладных задач технического и экономического содержания, задач космической навигации, автоматического регулирования и т. п. Начала теории были разработаны Р. Беллманом в США и Л. С. Понтрягиным и его школой в СССР.

Введение

Многие причины побуждают ставить и решать задачи на максимум и минимум. Одни из основных — прагматические причины, стремление людей наилучшим образом распорядиться имеющимися у них ресурсами. Это приводит к необходимости исследовать экстремальные задачи в технике, при управлении различными процессами, в экономике и т. п.

Оптимальное управление было создано в середине прошлого века в частности, для того, чтобы удовлетворять проблемам техники и управления. Решения проблем экономики вызвало к жизни еще один раздел теории экстремума — линейное программирование.

Одним из важнейших стимулов для развития теории экстремума была причина — "натурфилософская", связанная с тем, что в моделях, объясняющих явления природы, присутствует необходимость решать задачи на минимум или максимум, так что законы природы описываются принципами теории экстремума. По этому поводу Л. Эйлер сказал так: В мире не происходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого-нибудь максимума или минимума.

В историческом развитии в теории экстремума выделились такие основные разделы: конечномерные гладкие задачи на экстремум, вариационное исчисление, выпуклое программирование и оптимальное управление.

Вот как входят эти главы в современное высшее математическое образование. Конечномерные задачи изучаются во всяком высшем учебном заведении, где имеется курс математики; в учебных заведениях с повышенным уровнем математики (технического или естественнонаучного профиля) изучают вариационное исчисление, выпуклое (особенно линейное) программирование непременно входят в математическое образование высших учебных заведений экономического профиля; а там, где считаются важными технические приложения и проблемы управления, преподаются курсы оптимального управления.

Задачи на максимум и минимум стали обсуждать с самого зарождения математики. Сначала решались геометрические задачи. Примером задач, обсуждавшихся в древности, может служить изопериметрическая задача о кривой заданной длины, охватывающей наибольшую площадь (ответ в ней приводил в своих сочинениях еще Аристотель (Vb. дон. э.)). Геометрические задачи на экстремум ставили и решали три крупнейших математика Древней Греции Евклид (III в. до н. э.), Архимед (тоже III в. до н. э.) и Аполлоний (II в. до н. э.).

Стимулом для древних были эстетические причины, стремление к совершенству, любознательность. Эти черты, вообще говоря, свойственны человеку во все времена, так что и поныне они дают поводы к поиску оптимальных решений.

Экстремальные задачи изначально обычно формулируются на языке той области знаний, откуда они родом, на языке геометрии, физики, экономики, инженерии, и т. п. Для того, чтобы иметь возможность исследовать их математическими средствами, необходимо осуществить перевод их на язык математического анализа. Такой перевод называется формализацией.